Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên khoảng $(0;+\infty)$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $f(x)\ln f(x)=x\big(f(x)-f'(x)\big)$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Biết $f(1)=f(3)$, giá trị $f(2)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
 | $(12;14)$ |
 | $(4;6)$ |
 | $(1;3)$ |
 | $(6;8)$ |
Cho $F(x)=\dfrac{1}{2x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f(x)}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)\ln x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}+C$ |
Tính nguyên hàm $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{\left(\ln x+2\right)\mathrm{d}x}{x\ln x}$ bằng cách đặt $t=\ln x$ ta được nguyên hàm nào sau đây?
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{t\mathrm{\,d}t}{t-2}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int(t+2)\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\left(1+\dfrac{2}{t}\right)\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{(t+2)\mathrm{\,d}t}{t^2}$ |
Biết $F(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{f(x)}{x}$. Tính $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{2\ln{x}}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{2\ln{x}}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{2\ln{x}}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{2\ln{x}}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1;4\}$ có $f'(x)=\dfrac{2x-5}{x^2-5x+4}$ thỏa mãn $f(3)=1$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $1$ |
| $-1+3\ln2$ |
| $1+3\ln2$ |
| $1-\ln2$ |
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có \(f\left(3\right)=3\) và \(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1-\sqrt{x+1}}\), \(\forall x>0\). Khi đó \(\displaystyle\int\limits_3^8f\left(x\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(7\) |
| \(\dfrac{197}{6}\) |
| \(\dfrac{29}{2}\) |
| \(\dfrac{181}{6}\) |
Xác định \(f(x)\) biết \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{x}+\mathrm{e}^x+C\).
| \(f(x)=\ln\left|x\right|+\mathrm{e}^x\) |
| \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}+\mathrm{e}^x\) |
| \(f(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\mathrm{e}^x\) |
| \(f(x)=\ln x+\mathrm{e}^x\) |
Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{\ln2x}{x}$ là
| $y'=\dfrac{1-\ln2x}{x^2}$ |
| $y'=\dfrac{\ln2x}{2x}$ |
| $y'=\dfrac{\ln2x}{x^2}$ |
| $y'=\dfrac{1}{2x}$ |
Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{\ln2x}{x}$ là
| $y'=\dfrac{1-\ln2x}{x^2}$ |
| $y'=\dfrac{\ln2x}{2x}$ |
| $y'=\dfrac{\ln2x}{x^2}$ |
| $y'=\dfrac{1}{2x}$ |
Tìm đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{x+1}{\ln x}\).
| \(y'=\dfrac{\ln x-x-1}{x\ln^2x}\) |
| \(y'=\dfrac{x\ln x-x-1}{x\ln^2x}\) |
| \(y'=\dfrac{\ln x-x-1}{\ln^2x}\) |
| \(y'=\dfrac{\ln x-x-1}{x\ln x}\) |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\sin x\mathrm{\,d}x=F(x)+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $F'(x)=-\sin x$ |
| $F'(x)=\sin x$ |
| $F'(x)=-\cos x$ |
| $F'(x)=\cos x$ |
Tính $\displaystyle\displaystyle\int x\ln x\mathrm{\,d}x$.
| $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x+C$ |
| $\dfrac{1}{2}\ln x^2-\dfrac{1}{4}x^2+C$ |
| $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x^2+C$ |
| $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
| $f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ |
| $f(5)=2021-\ln2$ |
| $f(5)=2021+\ln2$ |
| $f(5)=2020+\ln2$ |
Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$ trên $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ là
| $\dfrac{-2}{(x+1)^2}+C$ |
| $2\ln|x+1|+C$ |
| $-\dfrac{1}{2}\ln|x+1|+C$ |
| $\dfrac{1}{(x+1)^2}+C$ |
Cho $F(x)=x+\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\cos x$ |
| $f(x)=1-\sin x$ |
| $f(x)=1+\sin x$ |
| $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\sin x$ |
Với mọi $x\neq0$ hàm số $g(x)=3x^2+\dfrac{1}{x^2}+3$ là đạo hàm của hàm số nào?
| $f(x)=x^3+\dfrac{1}{x}+3x+2$ |
| $f(x)=x^3+\dfrac{1}{2x}+3x$ |
| $f(x)=x^3-\dfrac{1}{x}+3x+1$ |
| $f(x)=3x^3-\dfrac{1}{x}+3x$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=12x^2+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
| $-3$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $7$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\left\{0;-1\right\}$ thỏa mãn điều kiện $f\left(1\right)=-2\ln2$ và $x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x$. Giá trị $f\left(2\right)=a+b\ln3$, với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ |
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Hàm số $F\left(x\right)=4x+\dfrac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
| $f\left(x\right)=4-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $f\left(x\right)=4-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $f\left(x\right)=4+\dfrac{1}{x^2}$ |
| $f\left(x\right)=2x^2+\ln|x|+C$ |