Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(2\right)=25$ và $f'\left(x\right)=4x\sqrt{f\left(x\right)}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3f\left(x\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
 | $\dfrac{1073}{15}$ |
 | $\dfrac{458}{15}$ |
 | $\dfrac{838}{15}$ |
 | $\dfrac{1016}{15}$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
| $f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ |
| $f(5)=2021-\ln2$ |
| $f(5)=2021+\ln2$ |
| $f(5)=2020+\ln2$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)$ với $a$, $b$ là các số dương. Giá trị của biểu thức $T=a+b$ là
| $10$ |
| $7$ |
| $6$ |
| $8$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1;4\}$ có $f'(x)=\dfrac{2x-5}{x^2-5x+4}$ thỏa mãn $f(3)=1$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $1$ |
| $-1+3\ln2$ |
| $1+3\ln2$ |
| $1-\ln2$ |
Tìm đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\).
| \(y'=-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)^2}\) |
| \(y'=\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)}\) |
| \(y'=\dfrac{1}{4\sqrt{x+1}}+\dfrac{1}{4\sqrt{x-1}}\) |
| \(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0;+\infty)\) và thỏa mãn \(f(1)=1\), \(f(x)=f'(x)\sqrt{3x+1}\), với mọi \(x>0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(4< f(5)<5\) |
| \(3< f(5)<4\) |
| \(1< f(5)<2\) |
| \(2< f(5)<3\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{4\mathrm{\,d}x}{(x+4)\sqrt{x}+x\sqrt{x+4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}-d\) với \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a+b+c+d\).
| \(48\) |
| \(46\) |
| \(54\) |
| \(52\) |
Biết \(I=\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{dx}{\left(2x+2\right)\sqrt{x}+2x\sqrt{x+1}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}{2}\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a-b+c\).
| \(P=24\) |
| \(P=12\) |
| \(P=18\) |
| \(P=22\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_1^3\dfrac{\mathrm{\,d}x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số hữu tỷ. Tính \(P =a+b+c\).
| \(P=\dfrac{13}{2}\) |
| \(P=\dfrac{16}{3}\) |
| \(P=5\) |
| \(P=\dfrac{2}{3}\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b\).
| \(T=7\) |
| \(T=10\) |
| \(T=6\) |
| \(T=8\) |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=12x^2+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
| $-3$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $7$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ |
| $f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ |
| $f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa $f(1)=\dfrac{1}{3}$ và $f'(x)=\big[xf(x)\big]^2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $\dfrac{2}{3}$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{16}{3}$ |
| $\dfrac{3}{16}$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{2x+3}$ và $F(0)=0$. Tính $F(2)$.
| $F(2)=\ln\dfrac{7}{3}$ |
| $F(2)=-\dfrac{1}{2}\ln3$ |
| $F(2)=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{7}{3}$ |
| $F(2)=\ln21$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, thỏa mãn $f(x)=x\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-f'(x)\right)$, $\forall x\in(0;+\infty)$ và $f(4)=\dfrac{4}{3}$. Giá trị của $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\left(x^2-1\right)f'(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{457}{15}$ |
| $\dfrac{457}{30}$ |
| $-\dfrac{263}{30}$ |
| $-\dfrac{263}{15}$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ và $F(2)=1$. Tính $F(3)$.
| $F(3)=\dfrac{7}{4}$ |
| $F(3)=\ln2+1$ |
| $F(3)=\dfrac{1}{2}$ |
| $F(3)=\ln2-1$ |
Tìm đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\).
| \(y'=\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\) |
| \(y'=\dfrac{-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\) |
| \(y'=\dfrac{x}{2\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\) |
| \(y'=-\dfrac{x\left(x^2+1\right)}{\sqrt{x^2+1}}\) |
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\) tại điểm \(x=0\).
| \(f'(0)=\dfrac{1}{2}\) |
| \(f'(0)=\dfrac{1}{3}\) |
| \(f'(0)=1\) |
| \(f'(0)=2\) |
Giới hạn \(\lim\limits_{x\to6}\dfrac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}\) bằng
| \(0\) |
| \(\dfrac{1}{6}\) |
| \(\dfrac{166}{999}\) |
| \(+\infty\) |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\sqrt{2+\ln x}}{2x}\mathrm{\,d}x\).
| \(\dfrac{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3}\) |
| \(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}\) |
| \(\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3}\) |
| \(\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{3}\) |