Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;-2)$ và $B(3;0;1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là
$(4;1;-1)$ | |
$\left(2;\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$ | |
$(2;-1;3)$ | |
$(-2;1;-3)$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x-\mathrm{e}^x$ là
$x^2-\mathrm{e}^{x+1}+C$ | |
$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{x+1}+C$ | |
$1-\mathrm{e}^x+C$ | |
$\dfrac{x^2}{2}-\mathrm{e}^x+C$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x+6z-2=0$ có bán kính bằng
$\sqrt{11}$ | |
$3\sqrt{6}$ | |
$2\sqrt{3}$ | |
$\sqrt{15}$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng qua điểm $A(2;-1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-2;3)$ là
$\begin{cases}x=1+2t\\ y=-2-t\\ z=3+t\end{cases} (t\in\mathbb{R})$ | |
$\begin{cases}x=2+t\\ y=-1+2t\\ z=1+3t\end{cases} (t\in\mathbb{R})$ | |
$\begin{cases}x=2+t\\ y=-1-2t\\ z=1+3t\end{cases} (t\in\mathbb{R})$ | |
$\begin{cases}x=1-2t\\ y=-2+t\\ z=3-t\end{cases} (t\in\mathbb{R})$ |
Hàm số $F(x)=x^2+\sin x$ là nguyên hàm của hàm số nào?
$y=\dfrac{1}{3}x^3+\cos x$ | |
$y=2x+\cos x$ | |
$y=\dfrac{1}{3}x^3-\cos x$ | |
$y=2x-\cos x$ |
Trong không gian $Oxyz$, vectơ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ có tọa độ là
$(1;3;2)$ | |
$(1;-3;2)$ | |
$(1;2;3)$ | |
$(0;-3;2)$ |
Điểm nào trong hình bên biểu diễn cho số phức $w=4-i$?
Điểm $M$ | |
Điểm $N$ | |
Điểm $P$ | |
Điểm $Q$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon2x-y+2z-3=0$. Vectơ nào dưới đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?
$\overrightarrow{n_1}=(2;-1;2)$ | |
$\overrightarrow{n_2}=(-2;1;-2)$ | |
$\overrightarrow{n_3}=(4;-2;4)$ | |
$\overrightarrow{n_4}=(6;3;6)$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;2]$, $f(0)=3$ và $f(2)=0$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2f'(x)\mathrm{\,d}x$ có giá trị bằng
$3$ | |
$-3$ | |
$2$ | |
$\dfrac{3}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, điểm $B$ đối xứng với điểm $A(2;1;-3)$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là
$(-2;1;-3)$ | |
$(2;-1;-3)$ | |
$(2;1;-3)$ | |
$(-2;1;3)$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left[f(x)-2g(x)\right]\mathrm{\,d}x=-8$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\mathrm{\,d}x$ có giá trị bằng
$12$ | |
$-1$ | |
$-5$ | |
$5$ |
Cho hàm số $y=2^x$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Diện tích $S$ của hình phẳng được tô đậm trong hình bằng
$S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ | |
$S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^{2x}\mathrm{\,d}x$ | |
$S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ | |
$S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
Ký hiệu $z$, $w$ là hai nghiệm phức của phương trình $2x^2-4x+9=0$. Giá trị của $P=\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{w}$ là
$-\dfrac{4}{9}$ | |
$-\dfrac{9}{4}$ | |
$\dfrac{4}{9}$ | |
$\dfrac{9}{8}$ |
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(2;-3;0)$ đến mặt phẳng $(P)\colon x+5y-2z+1=0$ bằng
$\dfrac{2\sqrt{30}}{5}$ | |
$12$ | |
$\dfrac{13}{\sqrt{30}}$ | |
$\sqrt{30}$ |
Cặp số $(x;y)$ nào dưới đây thỏa đẳng thức $(3x+2yi)+(2+i)=2x-3i$?
$(-2;-1)$ | |
$(-2;-2)$ | |
$(2;-2)$ | |
$(2;-1)$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(3;1;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)\colon2x-y+2z-5=0$ là
$\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$ | |
$\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ | |
$\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ | |
$\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+1}{2}$ |
Cho ba số phức $z_1=4-3i$, $z_2=(1+2i)i$, $z_3=\dfrac{1-i}{1+i}$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng $Oxy$ lần lượt là $A$, $B$, $C$. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn là điểm $D$ thỏa mãn $ABCD$ là hình bình hành?
$6-5i$ | |
$2-5i$ | |
$4-2i$ | |
$-6-4i$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OABC.O'A'B'C'$ có ba đỉnh $A,\,C,\,O'$ lần lượt nằm trên ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ và có ba cạnh $OA=6$, $OC=8$, $OO'=5$ (tham khảo hình minh họa).
Điểm $B'$ có tọa độ là
$(8;6;5)$ | |
$(5;6;8)$ | |
$(6;5;8)$ | |
$(6;8;5)$ |
Cho số phức $z=a+bi$ với $a,\,b$ là các số thực. Khẳng định nào đúng?
$z+\overline{z}=2bi$ | |
$z-\overline{z}=2a$ | |
$z\cdot\overline{z}=a^2-b^2$ | |
$\left|z\right|=\left|\overline{z}\right|$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)\colon\begin{cases}x=1-2t\\ y=3t\\ z=2+t\end{cases}$ là
$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{2}$ | |
$\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{2}$ | |
$\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{1}$ | |
$\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{1}$ |
Gọi $z,\,w$ là các số phức có điểm biểu diễn lần lượt là $M$ và $N$ trên mặt phẳng $Oxy$ như hình minh họa bên.
Phần ảo của số phức $\dfrac{z}{w}$ là
$\dfrac{14}{17}$ | |
$3$ | |
$-\dfrac{5}{17}$ | |
$-\dfrac{1}{2}$ |
Có bao nhiêu số nguyên $a\in(1;17)$ sao cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5\dfrac{\mathrm{d}x}{2x-1}>\ln\left(\dfrac{a}{2}\right)$?
$4$ | |
$9$ | |
$15$ | |
$0$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\begin{cases} x=1+t\\ y=a-2t\\ z=bt \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ nằm trong mặt phẳng $(P)\colon x+y-z-2=0$. Tổng $a+b$ có giá trị là
$-3$ | |
$-1$ | |
$1$ | |
$0$ |
Bằng cách đổi biến số $t=1+\ln x$ thì tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e}\dfrac{(1+\ln x)^2}{x}\mathrm{\,d}x$ trở thành
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e}t^2\mathrm{\,d}t$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2t^2\mathrm{\,d}t$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4t^2\mathrm{\,d}t$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2(1+t)^2\mathrm{\,d}t$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=x^2+3x-1$ và $y=-x^2+x+3$ được tô đậm trong hình bên có giá trị bằng
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(4x+2\right)\mathrm{\,d}x$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(2x^2+2x-4\right)\mathrm{\,d}x$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(4-2x-2x^2\right)\mathrm{\,d}x$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left(-4x-2\right)\mathrm{\,d}x$ |
Biết phương trình $z^2+2z+m=0$ ($m\in\mathbb{R}$) có một nghiệm là $z_1=-1+3i$. Gọi $z_2$ là nghiệm còn lại. Phần ảo của số phức $w=z_1-2z_2$ bằng
$1$ | |
$-3$ | |
$9$ | |
$-9$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;2;-1)$, $B(-4;2;-9)$. Phương trình mặt cầu có đường kính $AB$ là
$(x+3)^2+y^2+(z+4)^2=5$ | |
$(x+1)^2+(y-2)^2+(z+5)^2=25$ | |
$(x+2)^2+(y-4)^2+(z+10)^2=25$ | |
$(x+1)^2+(y-2)^2+(z+5)^2=5$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\left(d_1\right)\colon\begin{cases} x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3+4t \end{cases}$ ($t\in\mathbb{R}$) và $\left(d_2\right)\colon\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{z-7}{8}$. Khẳng định nào đúng?
$\left(d_1\right)\parallel\left(d_2\right)$ | |
$\left(d_1\right)\equiv(\left(d_2\right)$ | |
$\left(d_1\right)\perp\left(d_2\right)$ | |
$\left(d_1\right),\,\left(d_2\right)$ chéo nhau |
Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $P(2;-3;1)$. Gọi $A$, $B$, $C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $P$ trên ba trục tọa độ $Ox$, $Oy$ và $Oz$. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ là
$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1$ | |
$2x-3y+z=1$ | |
$3x-2y+6z=1$ | |
$3x-2y+6z-6=0$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)$ với $a$, $b$ là các số dương. Giá trị của biểu thức $T=a+b$ là
$10$ | |
$7$ | |
$6$ | |
$8$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có phương trình các mặt phẳng $(ABC)$ và $\left(A'B'C'\right)$ lần lượt là $x-2y+z+2=0$ và $x-2y+z+4=0$. Biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $6$. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
$6\sqrt{6}$ | |
$2\sqrt{6}$ | |
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ | |
$\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x=3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{3}{2}$ | |
$3$ | |
$\dfrac{5}{2}$ | |
$6$ |
Cho số phức $z=m+1+mi$ với $m\in\mathbb{R}$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in(-5;5)$ sao cho $|z-2i|>1$?
$0$ | |
$4$ | |
$5$ | |
$9$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng chứa trục $Oy$ và qua điểm $A(1;4;-3)$ là
$3x+z=0$ | |
$3x+y=0$ | |
$x+3z=0$ | |
$3x-z=0$ |
Một ô tô đang chạy với vận tốc $15$ (m/s) thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc $a=3t-8$ (m/s$^2$), trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc. Hỏi sau $10$ giây tăng tốc, ô tô đi được bao nhiêu mét?
$150$ | |
$180$ | |
$246$ | |
$250$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ cắt mặt phẳng $(P)\colon x-y+2z+3=0$ tại điểm $M(a;b;c)$. Giá trị $P=a+b+c$ bằng
$5$ | |
$-2$ | |
$-5$ | |
$0$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;2]$. Biết $f(2)=a$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x-1)f'(x)\mathrm{\,d}x=b$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x$ có giá trị bằng
$a-b$ | |
$b-a$ | |
$a+b$ | |
$-a-b$ |
Có bao nhiêu số phức $z=a+bi$ với $a,\,b$ là các số tự nhiên thuộc đoạn $[2;9]$ và tổng $a+b$ chia hết cho $3$?
$42$ | |
$27$ | |
$21$ | |
$18$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $x+\sqrt{2}y-z+3=0$ cắt mặt cầu $x^2+y^2+z^2=5$ theo giao tuyến là một đường tròn. Chu vi đường tròn đó bằng
$\pi\sqrt{11}$ | |
$3\pi$ | |
$\pi\sqrt{15}$ | |
$\pi\sqrt{7}$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa $f(1)=\dfrac{1}{3}$ và $f'(x)=\big[xf(x)\big]^2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giá trị $f(2)$ bằng
$\dfrac{2}{3}$ | |
$\dfrac{3}{2}$ | |
$\dfrac{16}{3}$ | |
$\dfrac{3}{16}$ |
Cho số phức $z=x+yi$ ($x\geq0$, $y\geq0$) thỏa $$\left|z-1+i\right|\leq\left|z+3-i\right|\leq\left|z-3-5i\right|.$$ Giá trị lớn nhất của $T=35x+63y$ bằng
$70$ | |
$126$ | |
$172$ | |
$203$ |
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng $80$ (cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính bằng $60$ (cm) (tham khảo hình minh họa bên).
Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu? (làm tròn đến hàng đơn vị)
$771$ | |
$385$ | |
$603$ | |
$905$ |
Cho hai hàm số $f(x)=mx^3+nx^2+px-\dfrac{5}{2}$ $(m,\,n,\,p\in\mathbb{R})$ và $g(x)=x^2+2x-1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3$, $-1$, $1$ (tham khảo hình vẽ bên).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ bằng
$\dfrac{9}{2}$ | |
$\dfrac{18}{5}$ | |
$4$ | |
$5$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;2;-3)$, $M(-2;-2;1)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Phương trình đường thẳng $d'$ đi qua $M$ và vuông góc với $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $d'$ nhỏ nhất là
$\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2\\ z=1+t\end{cases}$ | |
$\begin{cases}x=-2\\ y=-2+t\\ z=1+2t\end{cases}$ | |
$\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2-t\\ z=1\end{cases}$ | |
$\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2\\ z=1+2t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $M(2;1;4)$, $N(5;0;0)$ và $P(1;-3;1)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu qua ba điểm $M,\,N,\,P$ và tiếp xúc với mặt phẳng $Oyz$?
$0$ | |
$1$ | |
$2$ | |
$4$ |
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai điểm $A,\,B$ là điểm biểu diễn cho các số phức $z$ và $w=(1+i)z$. Biết tam giác $OAB$ có diện tích bằng $8$. Mô-đun của số phức $w-z$ bằng
$2$ | |
$2\sqrt{2}$ | |
$4\sqrt{2}$ | |
$4$ |
Một khung cửa kính hình parabol với đỉnh $M$ và cạnh đáy $AB$ như minh họa ở hình bên. Biết chi phí để lắp phần kính màu (phần tô đậm trong hình) là $200.000$ đồng/m$^2$ và phần kính trắng còn lại là $150.000$ đồng/m$^2$.
Cho $MN=AB=4$m và $MC=CD=DN$. Hỏi số tiền để lắp kính cho khung cửa như trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
$1.954.000$ đồng | |
$2.123.000$ đồng | |
$1.946.000$ đồng | |
$2.145.000$ đồng |