Chọn phương án A.

Đặt thùng rượu vào hệ trục tọa độ $Oxy$ theo hướng nằm ngang sao cho tâm của thùng rượu (tâm mặt cầu) trùng với gốc tọa độ $O$ và mặt đáy của thùng rượu song song với trục tung.

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn $\left(\mathscr{C}\right)\colon x^2+y^2=60^2$ ($y\geq0$), trục hoành và các đường thẳng $x=-40$, $x=40$.

Theo hình vẽ ta thấy thể tích thùng rượu chính là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành.

Xét phương trình $x^2+y^2=60^2$ với $y\geq0$ ta có $y=\sqrt{60^2-x^2}$.

Do đó thể tích của $(H)$ bằng $$\begin{aligned}
\pi\displaystyle\int\limits_{-40}^{40}\sqrt{60^2-x^2}^2\mathrm{\,d}x&=\pi\displaystyle\int\limits_{-40}^{40}\left(3600-x^2\right)\mathrm{\,d}x\\
&=\pi\left(3600x-\dfrac{x^3}{3}\right)\bigg|_{-40}^{40}\\
&=\dfrac{736000}{3}\pi\\
&\approx771.000\,\text{cm}^3.
\end{aligned}$$
Vậy thùng có thể đựng khoảng $771$ lít rượu.