Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên khoảng $(0;+\infty)$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $f(x)\ln f(x)=x\big(f(x)-f'(x)\big)$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Biết $f(1)=f(3)$, giá trị $f(2)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
 | $(12;14)$ |
 | $(4;6)$ |
 | $(1;3)$ |
 | $(6;8)$ |
Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm như trong hình vẽ bên.
Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ có diện tích $S=\dfrac{125}{9}$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^6(2x-5)f'(x)\mathrm{~d}x$ bằng
| $\dfrac{830}{9}$ |
| $\dfrac{178}{9}$ |
| $\dfrac{340}{9}$ |
| $\dfrac{925}{18}$ |
Đường gấp khúc $ABC$ trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$.
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^3f(x)\mathrm{~d}x$ bằng
| $4$ |
| $\dfrac{9}{2}$ |
| $\dfrac{7}{2}$ |
| $3$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\mathrm{~d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{~d}x=5$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^3f(x)\mathrm{~d}x$ bằng
| $10$ |
| $3$ |
| $7$ |
| $-3$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $F(2)=6$, $F(4)=12$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^4f(x)\mathrm{~d}x$ bằng
| $2$ |
| $6$ |
| $18$ |
| $-6$ |
Cho hàm số $f(x)=\cos x-x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{~d}x=-\sin x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{~d}x=-\sin x-\dfrac{x^2}{2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{~d}x=\sin x-x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{~d}x=\sin x-\dfrac{x^2}{2}+C$ |
Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int x^{\tfrac{1}{3}}\mathrm{~d}x=x^{\tfrac{4}{3}}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int x^{\tfrac{1}{3}}\mathrm{~d}x=\dfrac{3}{4} x^{\tfrac{4}{3}}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int x^{\tfrac{1}{3}}\mathrm{~d}x=x^{\tfrac{2}{3}}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int x^{\tfrac{1}{3}}\mathrm{~d}x=\dfrac{3}{2} x^{\tfrac{2}{3}}+C$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+x f'(x)=4x^3-6x^2$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng
| $\dfrac{7}{12}$ |
| $\dfrac{45}{4}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{71}{6}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $2F(3)+G(3)=9+2F(-1)+G(-1)$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\big(x^2+f(3-2x)\big)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{25}{6}$ |
| $\dfrac{7}{6}$ |
| $\dfrac{43}{6}$ |
| $3$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x=5$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}g(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $54$ |
| $20$ |
| $9$ |
| $1$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^5$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1$, $x=1$ bằng
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{1}{3}$ |
| $7$ |
| $5$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\sin x\mathrm{\,d}x=F(x)+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $F'(x)=-\sin x$ |
| $F'(x)=\sin x$ |
| $F'(x)=-\cos x$ |
| $F'(x)=\cos x$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^3f(x)\mathrm{\,d}x=5$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\mathrm{\,d}x=2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $-3$ |
| $3$ |
| $10$ |
| $7$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x=2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3\big[f(x)+4\big]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $8$ |
| $10$ |
| $24$ |
| $-2$ |
Cho hàm số $f(x)=2x-\mathrm{e}^x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=2-\dfrac{\mathrm{e}^x}{\ln x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^2-\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=2-\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^2+\mathrm{e}^x+C$ |
Cho hai hàm số $f(x)=mx^3+nx^2+px-\dfrac{5}{2}$ $(m,\,n,\,p\in\mathbb{R})$ và $g(x)=x^2+2x-1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3$, $-1$, $1$ (tham khảo hình vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ bằng
| $\dfrac{9}{2}$ |
| $\dfrac{18}{5}$ |
| $4$ |
| $5$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)+f'(x)=2x+1$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(0)=1$. Giá trị của $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $1-\dfrac{1}{2\mathrm{e}^2}$ |
| $1+\dfrac{1}{2\mathrm{e}^2}$ |
| $\dfrac{1}{2\mathrm{e}^2}$ |
| $-\dfrac{1}{2\mathrm{e}^2}$ |
Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=F(3)-G(0)+a$ ($a>0$). Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x)$, $y=G(x)$, $x=0$ và $x=3$. Khi $S=15$ thì $a$ bằng
| $15$ |
| $12$ |
| $18$ |
| $5$ |
Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} x^2+3 &\text{với }x\geq1\\ 5-x &\text{với }x< 1 \end{cases}$. Tính $$I=2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}f(\sin x)\cos x\mathrm{\,d}x+3\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(3-2x)\mathrm{\,d}x.$$
| $I=\dfrac{32}{3}$ |
| $I=32$ |
| $I=\dfrac{71}{6}$ |
| $I=31$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(3x+1)f'(x)\mathrm{\,d}x=2022$ và $4f(1)-f(0)=2028$. Giá trị của $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{1}{4}}f(4x)\mathrm{\,d}x$ là
| $2$ |
| $\dfrac{2022}{3}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{1}{4}$ |