Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên khoảng $(0;+\infty)$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $f(x)\ln f(x)=x\big(f(x)-f'(x)\big)$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Biết $f(1)=f(3)$, giá trị $f(2)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
 | $(12;14)$ |
 | $(4;6)$ |
 | $(1;3)$ |
 | $(6;8)$ |
Cho hàm số $f(x)=\cos x-x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{~d}x=-\sin x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{~d}x=-\sin x-\dfrac{x^2}{2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{~d}x=\sin x-x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{~d}x=\sin x-\dfrac{x^2}{2}+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $2F(3)+G(3)=9+2F(-1)+G(-1)$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\big(x^2+f(3-2x)\big)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{25}{6}$ |
| $\dfrac{7}{6}$ |
| $\dfrac{43}{6}$ |
| $3$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\sin x\mathrm{\,d}x=F(x)+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $F'(x)=-\sin x$ |
| $F'(x)=\sin x$ |
| $F'(x)=-\cos x$ |
| $F'(x)=\cos x$ |
Cho hàm số $f(x)=2x-\mathrm{e}^x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=2-\dfrac{\mathrm{e}^x}{\ln x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^2-\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=2-\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^2+\mathrm{e}^x+C$ |
Cho $F(x)=\dfrac{1}{2x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f(x)}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)\ln x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}+C$ |
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4x^3-3x+2$ thỏa mãn $F(-1)=-\dfrac{3}{2}$. Khi đó $F(x)$ bằng
| $x^4-\dfrac{3}{2}x^2+2x+2023$ |
| $x^4-\dfrac{3}{2}x^2+2x-1$ |
| $x^4-\dfrac{3}{2}x^2+2x+2$ |
| $x^4-\dfrac{3}{2}x^2+2x+1$ |
Tính $\displaystyle\displaystyle\int x\ln x\mathrm{\,d}x$.
| $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x+C$ |
| $\dfrac{1}{2}\ln x^2-\dfrac{1}{4}x^2+C$ |
| $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x^2+C$ |
| $\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C$ |
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)$.
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{3}\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{6}\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)+C$ |
Cho hai hàm số $u=u(x)$, $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục. Khi đó, $\displaystyle\displaystyle\int u\mathrm{d}v$ bằng
| $uv-\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
| $uv+\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
| $-uv-\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
| $-uv+\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos x+6x$ là
| $-\sin x+C$ |
| $\sin x+6x^2+C$ |
| $-\sin x+3x^2+C$ |
| $\sin x+3x^2+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ và $g(x)$ cùng liên tục trên $\mathbb{R}$. Khẳng định nào đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int\big[f(x)\cdot g(x)\big]\mathrm{\,d}x=\left(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x\right)\cdot\left(\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x\right)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\big(f(x)-g(x)\big)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\big[f(x)+g(x)\big]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]\mathrm{\,d}x=\dfrac{\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x}{\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),\,G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(4)+G(4)=4$ và $F(0)+G(0)=1$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int_0^2f(2x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $3$ |
| $\dfrac{3}{4}$ |
| $6$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
Cho hàm số $f(x)=\cos x+x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\sin x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\sin x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\sin x+\dfrac{x^2}{2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\sin x+\dfrac{x^2}{2}+C$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x=F(x)+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $F'(x)=\dfrac{2}{x^2}$ |
| $F'(x)=\ln x$ |
| $F'(x)=\dfrac{1}{x}$ |
| $F'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ |
Cho hàm số $f(x)=1-\dfrac{1}{\cos^22x}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\tan2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\dfrac{1}{2}\cot2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x-\dfrac{1}{2}\tan2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\dfrac{1}{2}\tan2x+C$ |
Cho hàm số $f(x)=\mathrm{e}^x+2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x-x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+2x^2+C$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\cos x+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $f(x)=-\sin x$ |
| $f(x)=-\cos x$ |
| $f(x)=\sin x$ |
| $f(x)=\cos x$ |
Cho hàm số $f(x)=x+\mathrm{e}^x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=1+\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=x+\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}x^2+\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C$ |
Cho hàm số $f(x)=2^x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=2^{x-1}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=2^x\ln2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{\ln2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=2^{x+1}+C$ |