Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
$f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ | |
$f(5)=2021-\ln2$ | |
$f(5)=2021+\ln2$ | |
$f(5)=2020+\ln2$ |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có một nguyên hàm là hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x^2-x+1\). Giá trị của biểu thức \(\displaystyle\int\limits_1^2f\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
\(-\dfrac{4}{3}\) | |
\(\dfrac{4}{3}\) | |
\(-\dfrac{2}{3}\) | |
\(\dfrac{2}{3}\) |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^2f(3x+1)\mathrm{d}x=6$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{7}f(x)\mathrm{d}x$.
$I=20$ | |
$I=8$ | |
$I=18$ | |
$I=16$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{4}^{9}f(x)\mathrm{d}x=10$. Tính tích phân $J=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(5x+4)\mathrm{d}x$.
$J=2$ | |
$J=10$ | |
$J=50$ | |
$J=4$ |
Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$ trên $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ là
$\dfrac{-2}{(x+1)^2}+C$ | |
$2\ln|x+1|+C$ | |
$-\dfrac{1}{2}\ln|x+1|+C$ | |
$\dfrac{1}{(x+1)^2}+C$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{10}x\mathrm{e}^{30x}\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{1}{900}\left(299\mathrm{e}^{300}+1\right)$ | |
$300-900\mathrm{e}^{300}$ | |
$-300+900\mathrm{e}^{300}$ | |
$\dfrac{1}{900}\left(299\mathrm{e}^{300}-1\right)$ |
Tính $\displaystyle\displaystyle\int\mathrm{e}^{2x-5}\mathrm{\,d}x$ ta được kết quả nào sau đây?
$\dfrac{\mathrm{e}^{2x-5}}{-5}+C$ | |
$-5\mathrm{e}^{2x-5}+C$ | |
$\dfrac{\mathrm{e}^{2x-5}}{2}+C$ | |
$2\mathrm{e}^{2x-5}+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)=3x^2-2x+3+4\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{2}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
$17$ | |
$11$ | |
$14$ | |
$21$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f(x)=x^3+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^3f\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$, $\forall x\in[0;1]$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
$\dfrac{1}{4}$ | |
$\dfrac{4}{15}$ | |
$\dfrac{13}{20}$ | |
$\dfrac{23}{60}$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(3x^2+\mathrm{e}^x+\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x$.
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos2x\mathrm{d}x$ bằng cách đặt $\begin{cases}u=x^2\\ \mathrm{d}v=\cos2x\mathrm{d}x\end{cases}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
Biết $f\left(x\right)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{9}f\left(x\right)\mathrm{d}x=9$. Khi đó tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f\left(3x-6\right)\mathrm{d}x$.
$I=27$ | |
$I=24$ | |
$I=3$ | |
$I=0$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{2}{2x+1}\mathrm{d}x$ bằng
$2\ln5$ | |
$\dfrac{1}{2}\ln5$ | |
$\ln5$ | |
$4\ln5$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x-\sin2x$ là
$\dfrac{x^2}{2}+\cos2x+C$ | |
$\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ | |
$x^2+\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ | |
$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
Hàm số $F\left(x\right)=\cos3x$ là nguyên hàm của hàm số
$f\left(x\right)=\dfrac{\sin3x}{3}$ | |
$f\left(x\right)=-3\sin3x$ | |
$f\left(x\right)=3\sin 3x$ | |
$f\left(x\right)=-\sin3x$ |
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos3x$.
$\displaystyle\displaystyle\int\cos3x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\sin3x+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\cos3x\mathrm{d}x=\sin3x+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\cos3x\mathrm{d}x=3\sin3x+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\cos3x\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{3}\sin3x+C$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\mathrm{e}^{3x}$ là
$3\mathrm{e}^{x}+C$ | |
$\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{x}+C$ | |
$\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+C$ | |
$3\mathrm{e}^{3x}+C$ |
Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2x+3}$ là
$\dfrac{1}{2}\ln\left(2x+3\right)+C$ | |
$\dfrac{1}{2}\ln\left|2x+3\right|+C$ | |
$\ln \left|2x+3\right|+C$ | |
$\dfrac{1}{\ln2}\ln\left|2x+3\right|+C$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x=3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{3}{2}$ | |
$3$ | |
$\dfrac{5}{2}$ | |
$6$ |