Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^2f(x)dx=1$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^3f(x)dx=3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^3f(x)dx$ bằng
 | $2$ |
 | $1$ |
 | $3$ |
 | $4$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=-1$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}g(x)\mathrm{d}x=3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\big[2f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x$ bằng
| $1$ |
| $-5$ |
| $-4$ |
| $-1$ |
Cho hàm số $f(x)=2^x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=2^{x-1}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=2^x\ln2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{\ln2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=2^{x+1}+C$ |
Cho hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ với $a,\,b,\,c$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)$ có hai giá trị cực trị là $-3$ và $6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ bằng
| $2\ln3$ |
| $\ln3$ |
| $\ln18$ |
| $2\ln2$ |
Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}2x+5 &\text{khi }x\ge1\\ 3x^2+4 &\text{khi }x< 1\end{cases}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0)=2$. Giá trị của $F(-1)+2F(2)$ bằng
| $27$ |
| $29$ |
| $12$ |
| $33$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\mathrm{\,d}x=5$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2[2f(x)-1]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $8$ |
| $9$ |
| $10$ |
| $13$ |
Cho hàm số $f(x)=\mathrm{e}^x+2$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^{x-2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x-2x+C$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^23f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $36$ |
| $12$ |
| $3$ |
| $4$ |
Cho hàm số $y=x^2+4$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^2+4x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{x^3}{3}+4x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^3+4x+C$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4g(x)\mathrm{\,d}x=-2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4[f(x)-g(x)]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $-1$ |
| $-5$ |
| $5$ |
| $1$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(2\right)=25$ và $f'\left(x\right)=4x\sqrt{f\left(x\right)}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3f\left(x\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1073}{15}$ |
| $\dfrac{458}{15}$ |
| $\dfrac{838}{15}$ |
| $\dfrac{1016}{15}$ |
Diện tích $S$ của phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^3\left|\dfrac{1}{2}{x^2}+\left(x^2-7x+12\right)\right|\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\dfrac{1}{2}{x^2}\rm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3\left(x^2-7x+12\right)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\dfrac{1}{2}{x^2}\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3\left(x^2-7x+12\right)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^3\left|\dfrac{1}{2}{x^2}-\left(x^2-7x+12\right)\right|\mathrm{d}x$ |
Xét tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{\rm{e}^2}\dfrac{\left(1+2\ln x\right)^2}{x}\mathrm{\,d}x$, nếu đặt $t=1+2\ln{x}$ thì $I$ bằng
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{e^2}t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $2\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $2\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{e^2}t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5t^2\mathrm{\,d}t$ |
Khẳng định nào sau đây sai?
| $\displaystyle\displaystyle\int\sin x\mathrm{\,d}x=-\cos x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int a^x\mathrm{\,d}x=a^x\ln{a}+C,\,\left(a>0,\,a\ne1\right)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm{\,d}x=\tan{x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x=\ln\left|x\right|+C$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2f(x)\mathrm{\,d}x=5$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^1\pi f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5\pi$ |
| $\dfrac{\pi}{5}$ |
| $-5\pi$ |
| $-\dfrac{\pi}{5}$ |
Cho tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1} x(1-x)^{2021}\mathrm{d}x$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}t^{2021}(1-t)\mathrm{d}t$ |
| $I=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\left(t^{2022}-t^{2021}\right)\mathrm{d}t$ |
| $I=-\displaystyle\int\limits_{0}^{1} t^{2021}(1-t)\mathrm{d}t$ |
| $I=-\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\left(t^{2022}-t^{2021}\right)\mathrm{d}t$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(x)+2f(2-x)=x^2-6x+4$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^3x f^{\prime}(x)\mathrm{d}x$ bằng
| $20$ |
| $\dfrac{149}{3}$ |
| $\dfrac{167}{3}$ |
| $\dfrac{176}{9}$ |
Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng lại hẳn sau $20\mathrm{s}$ kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Trong thời gian đó xe chạy được $120\mathrm{m}$. Cho biết công thức tính vận tốc của chuyển động biến đổi đều là $v=v_0+at$; trong đó $a\,\left(\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\right)$ là gia tốc, $v\,(\mathrm{m}/\mathrm{s})$ là vận tốc tại thời điểm $t~(s)$. Hãy tính vận tốc $v_{0}$ của xe lửa lúc bắt đầu hãm phanh.
| $30\mathrm{~m}/\mathrm{s}$ |
| $45\mathrm{~m}/\mathrm{s}$ |
| $6\mathrm{~m}/\mathrm{s}$ |
| $12\mathrm{~m}/\mathrm{s}$ |
Tính thể tích $V$ của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,\,x=\pi$. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\,(0\leq x\leq\pi)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x+2$.
| $\dfrac{7\pi}{6}+1$ |
| $\dfrac{9\pi}{8}+1$ |
| $\dfrac{7\pi}{6}+2$ |
| $\dfrac{9\pi}{8}+2$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
| $f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ |
| $f(5)=2021-\ln2$ |
| $f(5)=2021+\ln2$ |
| $f(5)=2020+\ln2$ |