Chọn phương án D.

Thay $x$ bởi $2-x$ ta được $$\begin{aligned}
f(2-x)+2f(x)&=(2-x)^2-6(2-x)+4\\
&=4-4x+x^2-12+6x+4\\ &=x^2+2x-4
\end{aligned}$$
Đặt $f(x)=a$, $f(2-x)=b$ ta được $$\begin{cases}
a+2b=x^2-6x+4\\ 2a+b=x^2+2x-4
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a+2b=x^2-6x+4 &(1)\\ 4a+2b=2x^2+4x-8&(2)
\end{cases}$$
Lấy (2) trừ (1) ta được $$3a=x^2+10x-12\Leftrightarrow a=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{10x}{3}-4=f(x).$$
Khi đó $$\begin{aligned}
\displaystyle\int\limits_{-1}^3x f^{\prime}(x)\mathrm{d}x&=\displaystyle\int\limits_{-1}^3x\left(\dfrac{2x}{3}+\dfrac{10}{3}\right)\mathrm{d}x\\
&=\displaystyle\int\limits_{-1}^3\left(\dfrac{2x^2}{3}+\dfrac{10x}{3}\right)\mathrm{d}x=\dfrac{176}{9}.
\end{aligned}$$