Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=-13$ và $f'(x)=15x^2-16x-1+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
 | $\dfrac{26}{3}$ |
 | $-\dfrac{64}{3}$ |
 | $-\dfrac{35}{4}$ |
 | $\dfrac{15}{4}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)=3x^2-2x+3+4\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{2}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $17$ |
| $11$ |
| $14$ |
| $21$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)=x^2-3x+2\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{10}{3}$ |
| $-\dfrac{10}{3}$ |
| $\dfrac{26}{15}$ |
| $-\dfrac{26}{15}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $f(x)=\sin x+2\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos x\cdot f(x)\mathrm{\,d}x$. Giá trị $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ bằng
| $-\pi$ |
| $-1$ |
| $-2$ |
| $0$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f(x)=x^3+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^3f\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$, $\forall x\in[0;1]$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $\dfrac{1}{4}$ |
| $\dfrac{4}{15}$ |
| $\dfrac{13}{20}$ |
| $\dfrac{23}{60}$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(x)=x\mathrm{e}^x+\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(f(x)+f'(x)-\mathrm{e}^x-1\right)\mathrm{\,d}x$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $2\mathrm{e}^2-1$ |
| $-2\mathrm{e}^2-1$ |
| $-2\mathrm{e}^2+1$ |
| $2\mathrm{e}^2+1$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0;+\infty)$ thỏa mãn $f(x)=x\sqrt{x}+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $\dfrac{528}{35}$ |
| $\dfrac{488}{35}$ |
| $\dfrac{408}{35}$ |
| $\dfrac{368}{35}$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$ thỏa mãn $f(x)=\dfrac{1}{x}+\displaystyle\int\limits_{1}^{2}xf(x)\mathrm{\,d}x$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $\dfrac{5-2\mathrm{e}}{3}$ |
| $3-2\mathrm{e}$ |
| $2+2\mathrm{e}$ |
| $1-2\mathrm{e}$ |
Xét hàm số $f(x)=\mathrm{e}^x+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Giá trị $f\left(\ln5620\right)$ bằng
| $5622$ |
| $5620$ |
| $5618$ |
| $5621$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\left\{0;-1\right\}$ thỏa mãn điều kiện $f\left(1\right)=-2\ln2$ và $x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x$. Giá trị $f\left(2\right)=a+b\ln3$, với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{2x+3}{2x^2-x-1}\mathrm{d}x$.
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(3x^2+\mathrm{e}^x+\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x$.
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos2x\mathrm{d}x$ bằng cách đặt $\begin{cases}u=x^2\\ \mathrm{d}v=\cos2x\mathrm{d}x\end{cases}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
Biết $f\left(x\right)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{9}f\left(x\right)\mathrm{d}x=9$. Khi đó tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f\left(3x-6\right)\mathrm{d}x$.
| $I=27$ |
| $I=24$ |
| $I=3$ |
| $I=0$ |
Biết rằng $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{3}{x^2+3x}\mathrm{d}x=a\ln5+b\ln2$ $\left(a,\,b\in\mathbb{Z}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $a+2b=0$ |
| $2a-b=0$ |
| $a-b=0$ |
| $a+b=0$ |
Biết tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2x+3}{2-x}\mathrm{d}x=a\ln2+b$ ($a,\,b\in\mathbb{Z}$), giá trị của $a$ bằng
| $7$ |
| $2$ |
| $3$ |
| $1$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x=2$; $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x=6$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.
| $I=8$ |
| $I=12$ |
| $I=36$ |
| $I=4$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thoả mãn điều kiện $f\left(1\right)=12$, $f'\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}f'\left(x\right)\mathrm{d}x=17$. Khi đó $f\left(4\right)$ bằng
| $5$ |
| $29$ |
| $19$ |
| $9$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b\right]$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)\mathrm{d}x}=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{b}^{a}{f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}k\mathrm{d}x=k\left(a-b\right)$, $\forall k\in\mathbb{R}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f\left(x\right)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ -1;1\right]$ thỏa mãn $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f'\left(x\right)\mathrm{d}x=5$ và $f\left(-1\right)=4$. Tìm $f\left(1\right)$.
| $f\left(1\right)=-1$ |
| $f\left(1\right)=1$ |
| $f\left(1\right)=9$ |
| $f\left(1\right)=-9$ |