Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=-13$ và $f'(x)=15x^2-16x-1+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
 | $\dfrac{26}{3}$ |
 | $-\dfrac{64}{3}$ |
 | $-\dfrac{35}{4}$ |
 | $\dfrac{15}{4}$ |
Chọn phương án B.
Đặt $m=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Ta có $f'(x)=15x^2-16x-1+m$.
Khi đó $f(x)=5x^3-8x^2-x+mx+c$.
Vì $f(1)=-13$ nên $$5-8-1+m+c=-13\Leftrightarrow m+c=-9\quad(1)$$Lại có $$\begin{aligned}
m&=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf(x)\mathrm{\,d}x\\ &=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(5x^4-8x^3-x^2+mx^2+cx\right)\mathrm{\,d}x\\
&=\left(x^5-2x^4-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{mx^3}{3}+\dfrac{cx^2}{2}\right)\bigg|_0^1\\
&=1-2-\dfrac{1}{3}+\dfrac{m}{3}+\dfrac{c}{2}\\
\Leftrightarrow\dfrac{4}{3}&=-\dfrac{2}{3}m+\dfrac{c}{2}\Leftrightarrow-4m+3c=8\quad(2)
\end{aligned}$$
Từ (1) và (2) ta có $\begin{cases}m+c=-9\\ -4m+3c=8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
m=-5\\ c=-4
\end{cases}$.
Vậy $f(x)=5x^3-8x^2-x-5x-4=5x^3-8x^2-6x-4$.
Khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(5x^3-8x^2-6x-4\right)\mathrm{\,d}x=-\dfrac{64}{3}$.