Ta có $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$.

Giả sử $\dfrac{2x+3}{2x^2-x-1}=\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{x-1}=\dfrac{(A+2B)x+(-A+B)}{2x^2-x-1}$.

Đồng nhất hệ số ta được $$\begin{cases}
A+2B=2\\ -A+B=3
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
A=-\dfrac{4}{3}\\ B=\dfrac{5}{3}.
\end{cases}$$
Vậy $\dfrac{2x+3}{2x^2-x-1}=-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{2x+1}+\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{1}{x-1}$.

Khi đó ta có $$\begin{aligned}
\displaystyle\int\dfrac{2x+3}{2x^2-x-1}\mathrm{d}x&=\displaystyle\int\left(-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{2x+1}+\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right)\mathrm{d}x\\
&=-\dfrac{2}{3}\ln|2x+1|+\dfrac{5}{3}\ln|x-1|+C.
\end{aligned}$$