Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c$ với $a,\,b,\,c\in\mathbb{R}$. Hãy xác định các số $a,\,b,\,c$ biết rằng $f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$ và đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua các điểm $\left(-1;-3\right)$ và $\left(1;-1\right)$.
Cho hàm số $f(x)$, trong đó $f(x)$ là một đa giác. Hàm số $f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ thuộc $(-5;5)$ để hàm số $y=g(x)=f\big(x^2-2|x|+m\big)$ có $9$ điểm cực trị?
 | $3$ |
 | $4$ |
 | $1$ |
 | $2$ |
Biết $\left(x^5-3x^4+2019\right)^{\prime}=ax^4+bx^3$. Tìm $S=a+b$.
| $S=-7$ |
| $S=7$ |
| $S=17$ |
| $S=12$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=12x^2+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
| $-3$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $7$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa $f(1)=\dfrac{1}{3}$ và $f'(x)=\big[xf(x)\big]^2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $\dfrac{2}{3}$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{16}{3}$ |
| $\dfrac{3}{16}$ |
Biết $F(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{f(x)}{x}$. Tính $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{2\ln{x}}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{2\ln{x}}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{2\ln{x}}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{2\ln{x}}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\left(3x^3+5x^4\right)\mathrm{\,d}x=Ax^\alpha+Bx^\beta+C$. Tính $P=A\alpha+B\beta$.
| $P=37$ |
| $P=4$ |
| $P=29$ |
| $P=8$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1;4\}$ có $f'(x)=\dfrac{2x-5}{x^2-5x+4}$ thỏa mãn $f(3)=1$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $1$ |
| $-1+3\ln2$ |
| $1+3\ln2$ |
| $1-\ln2$ |
Cho $\left(\dfrac{2x^2-3x+5}{x-3}\right)^{\prime}=\dfrac{ax^2-bx+c}{\left(x-3\right)^2}$. Tính $S=a+b+c$.
| $S=0$ |
| $S=12$ |
| $S=-6$ |
| $S=18$ |
Cho hàm số $y=\begin{cases}x^2+ax+b&\text{khi }x\ge2\\ x^3-x^2-8x+10&\text{khi }x<2\end{cases}$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng
| $20$ |
| $17$ |
| $18$ |
| $25$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{cases}ax^2+bx+1&\text{khi }x\ge0\\ ax-b-1&\text{khi }x<0\end{cases}$. Khi hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0=0$, hãy tính $T=a+2b$.
| $T=-4$ |
| $T=0$ |
| $T=-6$ |
| $T=4$ |
Đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{-x^2+3x-3}{2(x-1)}\) là biểu thức có dạng \(\dfrac{ax^2+bx}{2(x-1)^2}\). Khi đó, tích \(a\cdot b\) bằng
| \(-1\) |
| \(6\) |
| \(4\) |
| \(-2\) |
Cho biết $$\displaystyle\int\dfrac{2x-13}{(x+1)(x-2)}\mathrm{\,d}x=a\ln|x+1|+b\ln|x-2|+C$$Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(a-b=8\) |
| \(2a-b=8\) |
| \(a+2b=8\) |
| \(a+b=8\) |
Giả sử hàm số \(y=f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0;+\infty)\) và thỏa mãn \(f(1)=1\), \(f(x)=f'(x)\cdot\sqrt{3x+1}\), với mọi \(x>0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(3< f(5)<4\) |
| \(2< f(5)<3\) |
| \(1< f(5)<2\) |
| \(4< f(5)<5\) |
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=x\mathrm{e}^x\) và \(f(0)=2\). Tính \(f(1)\).
| \(f(1)=8-2\mathrm{e}\) |
| \(f(1)=\mathrm{e}\) |
| \(f(1)=3\) |
| \(f(1)=5-2\mathrm{e}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình. Gọi \(S\) là tập hợp các số nguyên dương \(m\) để bất phương trình $$f(x)\geq mx^2\left(x^2-2\right)+2m$$có nghiệm thuộc đoạn \([0;3]\). Số phần tử của tập \(S\) là
| \(9\) |
| \(10\) |
| Vô số |
| \(0\) |
Đồ thị hàm số \(y=x^3-2mx^2+m^2x+n\) có tọa độ điểm cực tiểu là \((1;3)\). Khi đó \(m+n\) bằng
| \(4\) |
| \(3\) |
| \(2\) |
| \(1\) |
Kết quả của phép tính tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\ln(2x+1)\mathrm{\,d}x=a\ln3+b\), (\(a,\,b\in\mathbb{Q}\)) khi đó giá trị của \(ab^3\) bằng
| \(-\dfrac{3}{2}\) |
| \(3\) |
| \(1\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
Biết \(\displaystyle\int(x+3)\cdot\mathrm{e}^{-3x+1}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{m}\mathrm{e}^{-3x+1}(3x+n)+C\) với \(m,\,n\) là các số nguyên. Tính tổng \(S=m+n\).
| \(10\) |
| \(1\) |
| \(9\) |
| \(19\) |
Gọi \(S\) là tập hợp các số nguyên \(m\) để hàm số $$y=\dfrac{x+2m-3}{x-3m+2}$$đồng biến trên khoảng \((-\infty;-14)\). Tính tổng \(T\) của các phần tử trong \(S\).
| \(T=-10\) |
| \(T=-9\) |
| \(T=-6\) |
| \(T=-5\) |