Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để bất phương trình $$\dfrac{x^3+\sqrt{3x^2+1}+1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}\leq\dfrac{m}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^2}$$có nghiệm.
 | $m=1$ |
 | $m=4$ |
 | $m=13$ |
 | $m=8$ |
Chọn phương án B.
Điều kiện xác định: $x\geq1$.
Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{aligned}
&\dfrac{\left(x^3+\sqrt{3x^2+1}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)}{x-(x-1)}\leq\dfrac{m}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^2}\\
\Leftrightarrow&\left(x^3+\sqrt{3x^2+1}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^3\leq m
\end{aligned}$$
Đặt $f(x)=\left(x^3+\sqrt{3x^2+1}+1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)^3$ với $x\geq1$.
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi $m\geq\min\limits_{x\geq1}f(x)$.
Với $x\geq1$ ta có $\begin{cases}
x^3+\sqrt{3x^2+1}+1\geq4>0\\
\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\geq1>0
\end{cases}\Rightarrow f(x)\geq4$.
Dấu "=" xảy ra khi $x=1$.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi $m\geq4$. Do đó, giá trị $m$ nhỏ nhất theo yêu cầu đề bài là $m=4$.