Chọn phương án C.

Ta có \(y'=6x^2-6(3m+1)x+6\left(2m^2+m\right)\).

Cho \(y'=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=m\\ x=2m+1\end{array}\right.\)

Vì \(m\) nguyên dương nên \(m<2m+1\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \((m;2m+1)\).

Vậy để hàm số nghịch biến trên khoảng \((1;3)\) thì $$\begin{aligned}
(1;3)\subset(m;2m+1)\Leftrightarrow&\,\begin{cases}
m\leq1\\ 2m+1\geq3
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\,\begin{cases}
m\leq1\\ m\geq1
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\,m=1.
\end{aligned}$$
Vậy có một giá trị nguyên dương duy nhất \(m=1\) thỏa đề.