Số nào trong các số phức sau là số thực?
 | $\left(\sqrt{3}+2i\right)-\left(\sqrt{3}-2i\right)$ |
 | $\left(5-2i\right)+\left(\sqrt{5}-2i\right)$ |
 | $\left(1+2i\right)+\left(-1+2i\right)$ |
 | $\left(3+2i\right)+\left(3-2i\right)$ |
Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức $z=-1+2i$?
| $N$ |
| $P$ |
| $M$ |
| $Q$ |
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f_1(x)$, $y=f_2(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$) được tính theo công thức
| $S=\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f_1(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f_2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f_1(x)-f_2(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
Trong không gian $Oxyz$, vectơ $\overrightarrow{u}=(1;2;-5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
| $\begin{cases}x=t\\ y=-2t\\ z=3-5t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+2t\\ y=2+4t\\ z=-5+6t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=5+t\\ y=-1+2t\\ z=5t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=6-t\\ y=-1-2t\\ z=5t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon2x-z+1=0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là
| $\overrightarrow{n}=(2;-1;0)$ |
| $\overrightarrow{n}=(2;-1;1)$ |
| $\overrightarrow{n}=(2;0;-1)$ |
| $\overrightarrow{n}=(2;0;1)$ |
Số phức liên hợp của số phức $z$ với $z=(1+i)(3-2i)+\dfrac{1}{3+i}$ là
| $\dfrac{53}{10}-\dfrac{9}{10}i$ |
| $\dfrac{13}{10}+\dfrac{9}{10}i$ |
| $\dfrac{13}{10}-\dfrac{9}{10}i$ |
| $\dfrac{53}{10}+\dfrac{9}{10}i$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)\colon(x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=4$ có bán kính bằng
| $2$ |
| $\sqrt{2}$ |
| $4$ |
| $16$ |
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{2021x}$.
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^{2021x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^{2021x}\cdot\ln2021+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=2021\cdot\mathrm{e}^{2021x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2021}\cdot\mathrm{e}^{2021x}+C$ |
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{3x+1}$.
| $\ln|3x+1|+C$ |
| $\dfrac{1}{3}\ln|3x+1|+C$ |
| $\ln(3x+1)+C$ |
| $\dfrac{1}{3}\ln(3x+1)+C$ |
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{\,d}x$ bằng
| $2$ |
| $0$ |
| $1$ |
| $4$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là điểm
| $P(1;0;0)$ |
| $Q(0;2;0)$ |
| $M(0;0;3)$ |
| $N(1;2;0)$ |
Cho hình phẳng $\left(\mathscr{D}\right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left(\mathscr{D}\right)$ quanh trục hoành.
| $3\pi$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{2\pi}{3}$ |
| $\dfrac{3\pi}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+4=0$ có bán kính bằng
| $\sqrt{53}$ |
| $4\sqrt{2}$ |
| $3\sqrt{7}$ |
| $\sqrt{10}$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}g(x)\mathrm{\,d}x=3$. Tính giá trị của tích phân $L=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\left[2f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x$.
| $-4$ |
| $4$ |
| $-1$ |
| $1$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-1;1)$. Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha\right)$ qua các hình chiếu của điểm $A$ trên các trục tọa độ là
| $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{1}=-1$ |
| $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{1}=0$ |
| $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{1}=1$ |
| $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{1}=1$ |
Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{\ln x}{x^2}$, $y=0$, $x=1$, $x=\mathrm{e}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\left(\dfrac{\ln x}{x^2}\right)^2\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\left(\dfrac{\ln x}{x^2}\right)^2\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $f(x)=-x^2+3$ và hàm số $g(x)=x^2-2x-1$ có đồ thị như hình vẽ.
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x$ bằng với tích phân nào dưới đây?
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left[g(x)-f(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left[\left|f(x)\right|-\left|g(x)\right|\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của $z$ có điểm biểu diễn là điểm nào sau đây?
| $N(-6;7)$ |
| $M(6;-7)$ |
| $Q(6;7)$ |
| $P(-6;-7)$ |
Kết quả của $I=\displaystyle\displaystyle\int x\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ là
| $I=x\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x+C$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x\left(x-\mathrm{e}^x\right)$ là
| $x^3+(3x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3-3(x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3+3(x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3-(3x+1)\mathrm{e}^x+C$ |
Gọi $z_1,\,z_2$ là các nghiệm phức của phương trình $z^2+2z+5=0$. Tính $M=\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2$.
| $M=4\sqrt{5}$ |
| $M=2\sqrt{34}$ |
| $M=12$ |
| $M=10$ |
Trong không gian $Oxyz$, tọa độ giao điểm của trục hoành với mặt phẳng $(P)\colon x-2y+z-2=0$ là
| $(-2;0;0)$ |
| $(2;0;0)$ |
| $(0;-1;0)$ |
| $(0;0;2)$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin2x$ và $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$. Tính $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{4}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{4}$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\mathrm{\,d}x=a+b\sqrt{2}$ với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Khi đó $a-b$ bằng
| $4$ |
| $-4$ |
| $1$ |
| $-1$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ và $F(2)=1$. Tính $F(3)$.
| $F(3)=\dfrac{7}{4}$ |
| $F(3)=\ln2+1$ |
| $F(3)=\dfrac{1}{2}$ |
| $F(3)=\ln2-1$ |
Cho số phức $z=a+bi$ ($a,\,b\in\mathbb{R}$). Dưới đây có bao nhiêu mệnh đề đúng?
- Môđun của $z$ là một số thực dương.
- $z^2=|z|^2$.
- $\left|\overline{z}\right|=\left|iz\right|=|z|$.
- Điểm $M(-a;b)$ biểu diễn số phức $\overline{z}$.
| $4$ |
| $1$ |
| $3$ |
| $2$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{6}f(x)\mathrm{\,d}x=7$, $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{3}^{10}f(x)\mathrm{\,d}x=8$, $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{3}^{6}f(x)\mathrm{\,d}x=9$. Giá trị của $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{10}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $8$ |
| $6$ |
| $7$ |
| $5$ |
Có bao nhiêu số phức $z$ có phần thực bằng $2$ và $|z+1-2i|=3$?
| $0$ |
| $1$ |
| $3$ |
| $2$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)\colon x-2y-2z-2=0$ có phương trình là
| $(S)\colon(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=9$ |
| $(S)\colon(x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=3$ |
| $(S)\colon(x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=9$ |
| $(S)\colon(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=3$ |
Cho hàm số $f(x)=x^4-5x^2+4$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây là sai?
| $S=2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $S=2\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=2\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x\right|+2\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{2}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=-2x^3+x^2+x+5$ và $y=x^2-x+5$ bằng
| $S=\pi$ |
| $S=\dfrac{1}{2}$ |
| $S=0$ |
| $S=1$ |
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi $t=0$ (s) chuyển động thẳng với vận tốc $v(t)=t(5-t)$ (m/s). Tìm quãng đường vật đi được khi nó dừng lại.
| $\dfrac{15}{4}$ m |
| $5$ m |
| $25$ m |
| $\dfrac{125}{6}$ m |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(2x-5)+C$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=9x\cos(6x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=9x\cos(2x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(2x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(6x-5)+C$ |
Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left|z-(2-3i)\right|\leq2$.
| Một đường thẳng |
| Một đường tròn |
| Một hình tròn |
| Một đường elip |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;0;0)$ và đường thẳng $BC$ có phương trình là $\begin{cases} x=-t\\ y=3+t\\ z=1+t \end{cases}$. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên đường thẳng $BC$.
| $(2;1;1)$ |
| $(2;-1;-1)$ |
| $(-2;1;-1)$ |
| $(2;1;-1)$ |
Cho số phức $z$ thỏa điều kiện $|z|=10$ và $w=(6+8i)\cdot\overline{z}+(1-2i)^2$. Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức $w$ là đường tròn có tâm là
| $I(-3;-4)$ |
| $I(3;4)$ |
| $I(6;8)$ |
| $I(1;-2)$ |
Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{a}\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{\,d}x$.
| $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1$ |
| $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1$ |
| $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1\right]$ |
| $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1\right]$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ và tạo với mặt phẳng $y+z+1=0$ một góc $60^\circ$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
| $\left[\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=0\end{array}\right.$ |
| $\left[\begin{array}{l}x-z=0\\ x+z=0\end{array}\right.$ |
| $\left[\begin{array}{l}x-z-1=0\\ x-z=0\end{array}\right.$ |
| $\left[\begin{array}{l}x-2z=0\\ x+z=0\end{array}\right.$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1;4\}$ có $f'(x)=\dfrac{2x-5}{x^2-5x+4}$ thỏa mãn $f(3)=1$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $1$ |
| $-1+3\ln2$ |
| $1+3\ln2$ |
| $1-\ln2$ |
Cho số phức $z=a+bi$ ($a,\,b\in\mathbb{R}$) thỏa mãn $z+3+i-|z|i=0$. Tính $S=a+b$.
| $-1$ |
| $-3$ |
| $0$ |
| $1$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon2x-y-2z+1=0$ và hai điểm $A(1;-1;4)$, $B(3;-3;2)$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(P)$. Tính tỉ số $t=\dfrac{KA}{KB}$.
| $t=1$ |
| $t=2$ |
| $t=\dfrac{3}{2}$ |
| $t=\dfrac{2}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$, đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y+2z+1=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $A$, vuông góc và cắt đường thẳng $d$. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.
| $(0;3;-2)$ |
| $(6;-7;0)$ |
| $(3;-2;-1)$ |
| $(-3;8;-3)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1)$, $B(-1;1;0)$, $C(1;0;1)$. Tìm điểm $M$ sao cho $3MA^2+2MB^2-MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
| $M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};2\right)$ |
| $M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2};-1\right)$ |
| $M\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};-1\right)$ |
| $M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};-1\right)$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(x+1)f'(x)\mathrm{\,d}x=10$ và $2f(1)-f(0)=2$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $I=-12$ |
| $I=8$ |
| $I=12$ |
| $I=-8$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $H(1;2;2)$ và cắt tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A,\,B,\,C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
| $2x+y+z-2=0$ |
| $x+2y-2z-9=0$ |
| $x+2y+2z-9=0$ |
| $2x+y+z-6=0$ |
Xét các số phức $z_1=x-2+(y+2)i$ và $z_2=x+yi$, với $x,\,y\in\mathbb{R}$, biết $\left|z_1\right|=1$. Số phức $z_2$ có môđun lớn nhất có phần ảo là
| $-5$ |
| $-\left(2+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ |
| $2-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $3$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $f(x)=xf'(x)+\ln x$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Giá trị của $f(\mathrm{e})$ bằng
| $\mathrm{e}$ |
| $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ |
| $1$ |
| $2$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;1;1)$, $B(4;-3;1)$ và $C(1;1;2)$. Đường phân giác của góc $A$ có phương trình là
| $\begin{cases}x=1+3t\\ y=1+4t\\ z=1+5t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=4+3t\\ y=-3+4t\\ z=6+5t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+3t\\ y=1-4t\\ z=1-5t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=4+3t\\ y=-3-4t\\ z=6+5t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $M,\,N,\,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $d\colon\begin{cases} x=2+t\\ y=1-t\\ z=4+t \end{cases}$ với $(P)$ có tọa độ là
| $(4;-1;6)$ |
| $(4;6;1)$ |
| $(-4;6;-1)$ |
| $(4;1;6)$ |
Cho hàm số $y=x^4-4x^2+m$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó $m=\dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+2b$.
| $37$ |
| $38$ |
| $0$ |
| $29$ |