Chọn phương án B.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$.

Vì $(P)$ chứa $Oy$ nên $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{j}=0\Leftrightarrow0\cdot a+1\cdot b+0\cdot c=0\Leftrightarrow b=0$.

Mặt phẳng $(Q)\colon y+z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m}=(0;1;1)$.

Vì góc giữa hai mặt phẳng có số đo $60^\circ$ nên ta có $$\begin{aligned}
\cos\left((P),(Q)\right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow&\dfrac{\left|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{m}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{\left|0\cdot a+1\cdot0+1\cdot c\right|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}\cdot\sqrt{a^2+c^2}}=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{|c|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{a^2+c^2}}=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&|c|\sqrt{2}=\sqrt{a^2+c^2}\\
\Leftrightarrow&2c^2=a^2+c^2\\
\Leftrightarrow&c^2=a^2.
\end{aligned}$$
Chọn $a=1$ ta được $c=\pm1$.

Lại vì mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ nên $\left[\begin{array}{l}(P)\colon x-z=0\\ (P)\colon x+z=0.\end{array}\right.$