Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1)$, $B(-1;1;0)$, $C(1;0;1)$. Tìm điểm $M$ sao cho $3MA^2+2MB^2-MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
 | $M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};2\right)$ |
 | $M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2};-1\right)$ |
 | $M\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};-1\right)$ |
 | $M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};-1\right)$ |
Chọn phương án D.
Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ hay $3\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0}$.
Ta có $\begin{cases}
\overrightarrow{AI}=(x;y;z+1)&\Rightarrow3\overrightarrow{AI}=(3x;3y;3z+3)\\
\overrightarrow{BI}=(x+1;y-1;z)&\Rightarrow2\overrightarrow{BI}=(2x+2;2y-2;2z)\\
\overrightarrow{CI}=(x-1;y;z-1)&\Rightarrow-\overrightarrow{CI}=(1-x;-y;1-z).
\end{cases}$
Suy ra $\begin{cases}
3x+2x+2+1-x&=0\\ 3y+2y-2-y&=0\\ 3z+3+2z+1-z&=0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x=-\dfrac{3}{4}\\ y=\dfrac{1}{2}\\ z=-1.
\end{cases}$
Vậy $I\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};-1\right)$. Khi đó ta có $$\begin{aligned}
3MA^2+2MB^2-MC^2&=3\overrightarrow{MA}^2+2\overrightarrow{MB}^2-\overrightarrow{MC}^2\\
&=3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2-\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2\\
&=4\overrightarrow{MI}^2+3\overrightarrow{IA}^2+2\overrightarrow{IB}^2-\overrightarrow{IC}^2+2\overrightarrow{MI}\cdot\left(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}\right)\\
&=4MI^2+3IA^2+2IB^2-IC^2+2\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{0}\\
&=4MI^2+3IA^2+2IB^2-IC^2.
\end{aligned}$$
Vì giá trị của $3IA^2+2IB^2-IC^2$ không đổi nên $3MA^2+2MB^2-MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $M\equiv I$, tức là $M\left(-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};-1\right)$.