Ngân hàng bài tập
A
Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c$ với $a,\,b,\,c\in\mathbb{R}$. Hãy xác định các số $a,\,b,\,c$ biết rằng $f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$ và đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua các điểm $\left(-1;-3\right)$ và $\left(1;-1\right)$.
1 lời giải
Ta có $y'=3x^2+2ax+b$.
Theo đề bài ta có $$\begin{aligned}
&\begin{cases}
f'\left(\dfrac{1}{3}\right)&=0\\ f(-1)&=-3\\ f(1)&=-1
\end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}
3\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+2a\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)+b&=0\\
(-1)^3+a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c&=-3\\
1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c&=-1
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
2a+3b&=-1\\
a-b+c&=-2\\
a+b+c&=-2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
a=-\dfrac{1}{2}\\
b=0\\
c=-\dfrac{3}{2}.
\end{cases}
\end{aligned}$$