Chọn phương án A.

Ta có $y'=\begin{cases}2x+a&\text{khi }x>2\\ 3x^2-2x-8&\text{khi }x<2.\end{cases}$

Vì hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$ nên $$4+a=0\Leftrightarrow a=-4.$$
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$ thì hàm số liên tục tại điểm $x=2$, tức là
\begin{eqnarray*}
&\lim\limits_{x\to2^+}f\left(x\right)&= \lim\limits_{x\to2^-}\lim\limits_f\left(x\right)=f\left(2\right)\\
\Leftrightarrow&4+2a+b&=-2\\
\Leftrightarrow&b&=2.
\end{eqnarray*}
Vậy $a^2+b^2=20$.