Trong không gian, cắt vật thể bởi hai mặt phẳng $(P)\colon x=-1$ và $(Q)\colon x=2$. Biết một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\leq x\leq2$) cắt theo thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $6-x$. Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P),\,(Q)$ bằng
 | $\dfrac{33}{2}\pi$ |
 | $93\pi$ |
 | $\dfrac{33}{2}$ |
 | $93$ |
Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) giới hạn bởi hai đường $y=x^2-4$, $y=x-2$ như hình vẽ bên là
| $S=\dfrac{9\pi}{2}$ |
| $S=\dfrac{33}{2}$ |
| $S=\dfrac{9}{2}$ |
| $S=\dfrac{33\pi}{2}$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{10}x\mathrm{e}^{30x}\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1}{900}\left(299\mathrm{e}^{300}+1\right)$ |
| $300-900\mathrm{e}^{300}$ |
| $-300+900\mathrm{e}^{300}$ |
| $\dfrac{1}{900}\left(299\mathrm{e}^{300}-1\right)$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x-3}{x+1}\mathrm{\,d}x$.
| $I=2-5\ln2$ |
| $I=1-4\ln2$ |
| $I=\dfrac{7}{2}-5\ln3$ |
| $I=4\ln3-1$ |
Tính $\displaystyle\displaystyle\int\mathrm{e}^{2x-5}\mathrm{\,d}x$ ta được kết quả nào sau đây?
| $\dfrac{\mathrm{e}^{2x-5}}{-5}+C$ |
| $-5\mathrm{e}^{2x-5}+C$ |
| $\dfrac{\mathrm{e}^{2x-5}}{2}+C$ |
| $2\mathrm{e}^{2x-5}+C$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}\sin x\mathrm{\,d}x$.
| $I=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $I=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $I=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $I=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=\dfrac{3}{x}$ và $y=4-x$. Tính $S$.
| $\dfrac{4}{3}$ |
| $\dfrac{4}{3}\pi$ |
| $4-3\ln3$ |
| $3\ln3-\dfrac{10}{3}$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Diện tích $S$ của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây?
| $S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\tan x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\cot x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\cot x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\tan x+C$ |
Cho biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Biểu thức $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $F(x)$ |
| $F(x)+C$ |
| $F'(x)+C$ |
| $xF(x)+C$ |
Cho các số thực $a,\,b$ ($a< b$) và hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(a)-f'(b)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(b)-f'(a)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(a)-f(b)$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức
| $V=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2f(x)\mathrm{\,d}x=2$, $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\mathrm{\,d}x=-1$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^4f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $-3$ |
| $1$ |
| $-2$ |
| $3$ |
Cho hàm số $f(x)=3x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ $(a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{R})$ có ba điểm cực trị là $-2,\,-1$ và $1$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng
| $\dfrac{500}{81}$ |
| $\dfrac{36}{5}$ |
| $\dfrac{2932}{405}$ |
| $\dfrac{2948}{405}$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=12x^2+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
| $-3$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $7$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}[f(x)+2x]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $20$ |
| $10$ |
| $18$ |
| $12$ |
Cho hàm số $f(x)=1+\sin x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x-\cos x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\sin x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\cos x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\cos x+C$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x=2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}3f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $6$ |
| $3$ |
| $18$ |
| $2$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}g(x)\mathrm{\,d}x=-2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}[f(x)+g(x)]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $-5$ |
| $1$ |
| $3$ |
Trên khoảng $(0;+\infty)$, họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^{\tfrac{3}{2}}$ là
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{5}{2}x^{\tfrac{2}{5}}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{2}{5}x^{\tfrac{5}{2}}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{2}{3}x^{\tfrac{1}{2}}+C$ |