Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=-x^2+2x$ và $y=0$ quanh trục $Ox$ bằng
 | $\dfrac{16}{15}$ |
 | $\dfrac{16\pi}{9}$ |
 | $\dfrac{16}{9}$ |
 | $\dfrac{16\pi}{15}$ |
Cho hàm số $f(x)=\cos x+x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\sin x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\sin x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\sin x+\dfrac{x^2}{2}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\sin x+\dfrac{x^2}{2}+C$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int_0^2f(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int_0^2\left[\dfrac{1}{2}f(x)-2\right]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $0$ |
| $6$ |
| $8$ |
| $-2$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x=F(x)+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $F'(x)=\dfrac{2}{x^2}$ |
| $F'(x)=\ln x$ |
| $F'(x)=\dfrac{1}{x}$ |
| $F'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^4f(x)\mathrm{\,d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^4g(x)\mathrm{\,d}x=3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^4\big[f(x)+g(x)\big]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $6$ |
| $1$ |
| $-1$ |
Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn $8$m và độ dài trục nhỏ $6$m. Người ta cần trồng rau trên dải đất rộng $4$m như hình vẽ.
Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng rau trên dải đất đó, biết rằng kinh phí trồng rau là $70000$ đồng/m$^2$?
| $1.607.107$ đồng |
| $803.553$ đồng |
| $267.851$ đồng |
| $2.638.938$ đồng |
Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(x^2+4x+\dfrac{4}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x$.
Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(2x+1)^5\mathrm{\,d}x$.
Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x(1+x)^2\mathrm{\,d}x$.
Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Biết rằng hàm số $g(x)=\ln f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f'(x)$ và $y=g'(x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
| $(5;6)$ |
| $(4;5)$ |
| $(2;3)$ |
| $(3;4)$ |
Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=F(3)-G(0)+a$ ($a>0$). Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x)$, $y=G(x)$, $x=0$ và $x=3$. Khi $S=15$ thì $a$ bằng
| $15$ |
| $12$ |
| $18$ |
| $5$ |
Cho hàm số $f(x)=1-\dfrac{1}{\cos^22x}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\tan2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\dfrac{1}{2}\cot2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x-\dfrac{1}{2}\tan2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\dfrac{1}{2}\tan2x+C$ |
Cho hàm số $f(x)=\mathrm{e}^x+2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x-x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+2x^2+C$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\cos x+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $f(x)=-\sin x$ |
| $f(x)=-\cos x$ |
| $f(x)=\sin x$ |
| $f(x)=\cos x$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x=-3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{5}^{-1}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $6$ |
| $4$ |
| $3$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left[\dfrac{1}{2}f(x)+2\right]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $6$ |
| $8$ |
| $4$ |
| $2$ |
Cho hai hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ và $g(x)=dx+e$ ($a,\,b,\,c,\,d,\,e\in\mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm $A,\,B,\,C$ sao cho $BC=2AB$, với phần diện tích $S_1$, $S_2$ như hình vẽ.
Khi đó $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng
| $\dfrac{5}{16}$ |
| $\dfrac{5}{32}$ |
| $\dfrac{3}{16}$ |
| $\dfrac{3}{32}$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0)=4$ và $f'(x)=2\sin^2x+3$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}f(x)\mathrm{d}x$ bằng
| $\dfrac{\pi^2-2}{8}$ |
| $\dfrac{\pi^2+8\pi-8}{8}$ |
| $\dfrac{\pi^2+8\pi-2}{8}$ |
| $\dfrac{3\pi^2+2\pi-3}{8}$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f(x)dx=10$ thì $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{5}^2\big[2-4f(x)\big]dx$ bằng
| $36$ |
| $34$ |
| $-38$ |
| $-36$ |
Cho hàm số $f(x)=x+\mathrm{e}^x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=1+\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=x+\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}x^2+\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C$ |