Cặp số nào sau đây có tính chất "Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại"?
 | \(\tan x\) và \(\dfrac{1}{\sin^2x^2}\) |
 | \(\sin x\) và \(\cos x\) |
 | \(\mathrm{e}^x\) và \(\mathrm{e}^{-x}\) |
 | \(x^2\) và \(x\) |
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
| \(\displaystyle\int\cos x\mathrm{\,d}x=\sin x+C\) |
| \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{x}+C\) |
| \(\displaystyle\int\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{\,d}x=\sqrt{x}+C\) |
| \(\displaystyle\int a^x\mathrm{\,d}x=a^x\cdot\ln a+C\) (\(a>0,\,a\neq1\)) |
Nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x}\) là
| \(x^2+\ln|x|\) |
| \(x^2+\ln x+C\) |
| \(x^2-\ln|x|+C\) |
| \(x^2+\ln|x|+C\) |
Một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+2}\) thỏa \(F(0)=-\ln3\) là
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)+\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)+2\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)-\ln3\) |
| \(\ln\left(\mathrm{e}^x+2\right)-2\ln3\) |
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^{3x}\) thỏa \(F(0)=1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| \(F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+\dfrac{2}{3}\) |
| \(F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+1\) |
| \(F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}\) |
| \(F(x)=-\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+\dfrac{4}{3}\) |
\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\cot x\) và \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\). Giá trị của \(F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) bằng
| \(-\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) |
| \(\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) |
| \(\ln2\) |
| \(-\ln2\) |
Giả sử hàm số \(f\) liên tục trên khoảng \(\mathbb{K}\) và \(a,\,b,\,c\) là \(3\) số thực bất kỳ thuộc \(\mathbb{K}\). Khẳng định nào sau đây sai?
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\neq\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(t)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(t)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{a}f(x)\mathrm{\,d}x=0\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\;\left(c\in(a;b)\right)\) |
Với \(a\neq0\). Cho biểu thức \(B=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}ax^2\mathrm{\,d}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
| \(B=a\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}x^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(B=-\displaystyle\int\limits_{1}^{-1}ax^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(B=\displaystyle\int\limits_{1}^{0}ax^2\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{-1}ax^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(B=\dfrac{2a}{3}\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=2\) và \(\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=3\). Kết quả \(\displaystyle\int\limits_{3}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\) bằng bao nhiêu?
| \(3\) |
| \(\dfrac{5}{2}\) |
| \(-1\) |
| \(1\) |
Cho tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x\) và đặt \(t=\sqrt{1+x}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(t^2-1\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2+2t\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(t^2+t\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2-2t\right)\mathrm{\,d}t\) |
Cho \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin2x\mathrm{\,d}x\), \(J=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{\,d}x\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
| \(I>J\) |
| \(I=J\) |
| \(I< J\) |
| \(I=2J\) |
Kết quả của phép tính tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\ln(2x+1)\mathrm{\,d}x=a\ln3+b\), (\(a,\,b\in\mathbb{Q}\)) khi đó giá trị của \(ab^3\) bằng
| \(-\dfrac{3}{2}\) |
| \(3\) |
| \(1\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln3\) (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Khi đó, giá trị của \(a\cdot b\) là
| \(2\) |
| \(-2\) |
| \(-4\) |
| \(3\) |
Biết rằng \(\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{3}{x^2+3x}\mathrm{\,d}x=a\ln5+b\ln2\), (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(a+b=0\) |
| \(a-b=0\) |
| \(a+2b=0\) |
| \(2a-b=0\) |
Diện tích hình phẳng \(S\) đối với hình vẽ trên là
| \(S=-\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}-f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho đồ thị hàm số \(y=h(x)\). Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}h(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}h(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}h(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}h(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{0}h(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(-\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}h(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}h(x)\mathrm{\,d}x\) |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=x^2\) và \(y=x\) là
| \(1\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(\dfrac{1}{6}\) |
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x-1}\), trục hoành, \(x=2\) và \(x=5\) quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}\sqrt{x-1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\mathrm{e}^x\), trục \(Ox\), hai đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Thể tích khối tròn xoay khi quay hình đó xung quanh trục hoành được cho bởi công thức
| \(\left(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\right)^2\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\left(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\right)^2\) |
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi ba đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=2-x\) và \(y=0\) quanh trục \(Ox\).
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
| \(\pi\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Điểm \(A\) trong hình vẽ trên biểu diễn cho số phức \(z\). Mệnh đề nào sau đây đúng.
| Phần thực là \(-3\), phần ảo là \(2\) |
| Phần thực là \(-3\), phần ảo là \(2i\) |
| Phần thực là \(3\), phần ảo là \(-2i\) |
| Phần thực là \(3\), phần ảo là \(2\) |
Tính môđun của số phức \(z=4-3i\).
| \(|z|=5\) |
| \(|z|=\sqrt{7}\) |
| \(|z|=7\) |
| \(|z|=25\) |
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z=i(3+4i)\). Môđun của \(z\) là
| \(|z|=7\) |
| \(|z|=\sqrt{5}\) |
| \(|z|=5\) |
| \(|z|=25\) |
Cho số phức \(z=a+bi\). Số phức \(z^2\) có phần thực và phần ảo là
| \(a^2+b^2\) và \(2a^2b^2\) |
| \(a+b\) và \(a^2b^2\) |
| \(a^2-b^2\) và \(2ab\) |
| \(a-b\) và \(ab\) |
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z+2\overline{z}=6-3i\) có phần ảo bằng
| \(-3\) |
| \(3\) |
| \(3i\) |
| \(2i\) |
Số phức liên hợp của số phức \(z=(1+i)^{15}\) là
| \(\overline{z}=128+128i\) |
| \(\overline{z}=128-128i\) |
| \(\overline{z}=-1\) |
| \(\overline{z}=-128-128i\) |
Giá trị của tham số thực \(m\) bằng bao nhiêu để bình phương số phức \(z=\dfrac{(m+9i)(1+i)}{2}\) là số thực?
| Không có giá trị \(m\) thỏa |
| \(m=-9\) |
| \(m=9\) |
| \(m=\pm9\) |
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z+i|=1\). Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w=z-2i\) là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là
| \(I(0;-1)\) |
| \(I(0;-3)\) |
| \(I(0;3)\) |
| \(I(0;1)\) |
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z-1|=|z-i|\). Tìm môđun nhỏ nhất của số phức \(w=2z+2-i\).
| \(3\sqrt{2}\) |
| \(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\) |
| \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
Cho hai số phức \(z_1=3-3i\), \(z_2=-1+2i\). Phần ảo của số phức \(w=z_1+2z_2\) là
| \(-1\) |
| \(1\) |
| \(-7\) |
| \(7\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho \(A(-1;2;4)\), \(B(-1;1;4)\), \(C(0;0;4)\). Tìm số đo của \(\widehat{ABC}\).
| \(135^\circ\) |
| \(120^\circ\) |
| \(45^\circ\) |
| \(60^\circ\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(M(3;0;0)\), \(N(0;0;4)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).
| \(MN=7\) |
| \(MN=1\) |
| \(MN=5\) |
| \(MN=10\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-m=0\) có bán kính \(R=5\). Tính giá trị của \(m\).
| \(m=-4\) |
| \(m=4\) |
| \(m=16\) |
| \(m=-16\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon-3x+2z-1=0\). Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng \((P)\) là
| \(\vec{n}=(-3;2;-1)\) |
| \(\vec{n}=(3;2;-1)\) |
| \(\vec{n}=(-3;0;2)\) |
| \(\vec{n}=(3;0;2)\) |
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua \(3\) điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0;-2;0)\), \(C(0;0;-3)\). Phương trình của mặt phẳng \((\alpha)\) là
| \(6x-3y-2z+6=0\) |
| \(6x-3y+2z+6=0\) |
| \(6x-3y+2z-6=0\) |
| \(6x-3y-2z-6=0\) |
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(M(2;-1;2)\) và song song với mặt phẳng \((Q)\colon2x-y+3z+4=0\). Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là
| \(2x-y+2z-11=0\) |
| \(2x-y+3z+11=0\) |
| \(2x-y+3z-11=0\) |
| \(2x-y+3z-4=0\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa trục \(Oy\) và cách \(A(1;3;5)\) một đoạn dài nhất. Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là
| \(x+5z-18\) |
| \(x+5z=0\) |
| \(3x+4z=0\) |
| \(x+5y=0\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(N(1;2;3)\) và cắt ba tia \(Ox,\,Oy,\,Oz\) lần lượt tại \(A,\,B,\,C\) sao cho tam giác \(ABC\) đều. Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là
| \(x+2y+3z-6=0\) |
| \(x+y+z-6=0\) |
| \(3x+2y+z-6=0\) |
| \(x+2y+3z=0\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((\alpha)\colon2x+3y-2z+5=0\) và \((\beta)\colon3x+4y-8z-5=0\). Khi đó vị trí tương đối của \((\alpha)\) và \((\beta)\) là
| \((\alpha)\) cắt \((\beta)\) |
| \((\alpha)\equiv(\beta)\) |
| \((\alpha)\bot(\beta)\) |
| \((\alpha)\parallel(\beta)\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((\alpha)\colon2x+3y-z+2=0\), \((\beta)\colon2x+3y-z+16=0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) là
| \(\sqrt{14}\) |
| \(15\) |
| \(0\) |
| \(\sqrt{23}\) |
Điểm $A$ trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức $z$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| Phần thực là $-3$, phần ảo là $2$ |
| Phần thực là $-3$, phần ảo là $2i$ |
| Phần thực là $3$, phần ảo là $-2i$ |
| Phần thực là $3$, phần ảo là $2$ |
Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(x^2+4x+\dfrac{4}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x$.
Tìm hai số thực $x,\,y$ thỏa mãn $(2x-y)i+y(1-2i)^2=3+7i$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(1;-1;2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+3y-z+2=0$.
- Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I$, tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.
- Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$.