Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)\bigg|_a^b=F(b)-F(a)$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f(x)\bigg|_a^b=f(b)-f(a)$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)\bigg|_a^b=-F(b)-F(a)$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)\bigg|_a^b=F(a)-F(b)$ |
Cho hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$). Diện tích của hình $H$ được tính theo công thức nào sau đây?
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)-g(x)\big|\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)-g(x)\big|\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{\,d}x$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x=-3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{5}^{-1}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $6$ |
| $4$ |
| $3$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=-1$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}g(x)\mathrm{d}x=3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\big[2f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x$ bằng
| $1$ |
| $-5$ |
| $-4$ |
| $-1$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^23f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $36$ |
| $12$ |
| $3$ |
| $4$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4g(x)\mathrm{\,d}x=-2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4[f(x)-g(x)]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $-1$ |
| $-5$ |
| $5$ |
| $1$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,x=b$ $(a< b)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)\big|\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)\big|\mathrm{d}x$ |
Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x$ |
Cho các số thực $a,\,b$ ($a< b$) và hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(a)-f'(b)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(b)-f'(a)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(a)-f(b)$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức
| $V=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}g(x)\mathrm{\,d}x=-2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}[f(x)+g(x)]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $-5$ |
| $1$ |
| $3$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos2x\mathrm{d}x$ bằng cách đặt $\begin{cases}u=x^2\\ \mathrm{d}v=\cos2x\mathrm{d}x\end{cases}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b\right]$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)\mathrm{d}x}=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{b}^{a}{f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}k\mathrm{d}x=k\left(a-b\right)$, $\forall k\in\mathbb{R}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f\left(x\right)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ |
Bằng cách đổi biến số $t=1+\ln x$ thì tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e}\dfrac{(1+\ln x)^2}{x}\mathrm{\,d}x$ trở thành
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e}t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2(1+t)^2\mathrm{\,d}t$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;2]$, $f(0)=3$ và $f(2)=0$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2f'(x)\mathrm{\,d}x$ có giá trị bằng
| $3$ |
| $-3$ |
| $2$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
Cho hai hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $a< c< b$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b k\cdot f(x)\mathrm{\,d}x= k\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x$ với $k$ là hằng số |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b \dfrac{f(x)}{g(x)}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x}{\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\mathrm{\,d}x}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^c f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_c^b f(x)\mathrm{\,d}x$ |
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và các đường thẳng $x=a$, $x=b$. Diện tích $S$ được tính theo công thức nào dưới đây?
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left[g(x)-f(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b|f(x)-g(x)|\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $D$ xung quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào dưới đây?
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\left(\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\right)^2$ |
| $V=2\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=F(a)-F(b)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=F(b)-F(a)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=F(a)+F(b)$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=F'(b)-F'(a)$ |
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f_1(x)$, $y=f_2(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$) được tính theo công thức
| $S=\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f_1(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f_2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f_1(x)-f_2(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |