Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=F(3)-G(0)+a$ ($a>0$). Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x)$, $y=G(x)$, $x=0$ và $x=3$. Khi $S=15$ thì $a$ bằng
 | $15$ |
 | $12$ |
 | $18$ |
 | $5$ |
Chọn phương án D.
Vì $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ nên $F(x)=G(x)+C$, hay $F(x)-G(x)=C$. Khi đó $$\begin{aligned}
S&=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\left|F(x)-G(x)\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\left|C\right|\mathrm{\,d}x\\
&=|C|x\bigg|_0^3=3|C|.
\end{aligned}$$
Khi $S=15$ thì $3|C|=15\Leftrightarrow|C|=\pm5$.
Theo đề bài ta cũng có
$$\begin{array}{lll}
&\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x&=F(3)-G(0)+a\\
\Leftrightarrow&F(3)-F(0)&=F(3)-G(0)+a\\
\Leftrightarrow&F(3)-\big[G(0)+C\big]&=F(3)-G(0)+a\\
\Leftrightarrow&F(3)-G(0)-C&=F(3)-G(0)+a\\
\Leftrightarrow&-C&=a.
\end{array}$$
Vì $a>0$ nên $a=5$.