Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x=a$ ($0< a< 4$) cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại $M$ (tham khảo hình vẽ).
Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V=2V_1$. Khi đó
$a=3$ | |
$a=2\sqrt{2}$ | |
$a=\dfrac{5}{2}$ | |
$a=2$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$. Biết $\dfrac{1}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f'(x)\ln x$ và $f(2)=\dfrac{1}{\ln2}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x$ bằng
$-\dfrac{7}{4}$ | |
$\dfrac{1}{2}$ | |
$-\dfrac{1}{2}$ | |
$\dfrac{7}{4}$ |
Cho $F(x)=\dfrac{1}{2x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f(x)}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'(x)\ln x$.
$\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=-\left(\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln x}{x^2}+\dfrac{1}{2x^2}+C$ |
Biết $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c$ với $a,\,b,\,c$ là các số nguyên dương. Tính $P=a+b+c$.
$P=18$ | |
$P=12$ | |
$P=24$ | |
$P=46$ |
Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)\colon y=2x-x^2$ và trục hoành. Đường thẳng $y=mx$ chia hình $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính giá trị $m$.
$2-\sqrt[3]{4}$ | |
$2-\sqrt{3}$ | |
$2-\sqrt{4}$ | |
$2-\sqrt[3]{5}$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x$ là
$\dfrac{4}{3}$ | |
$\dfrac{5}{3}$ | |
$\dfrac{3}{2}$ | |
$\dfrac{23}{15}$ |
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4x^3-3x+2$ thỏa mãn $F(-1)=-\dfrac{3}{2}$. Khi đó $F(x)$ bằng
$x^4-\dfrac{3}{2}x^2+2x+2023$ | |
$x^4-\dfrac{3}{2}x^2+2x-1$ | |
$x^4-\dfrac{3}{2}x^2+2x+2$ | |
$x^4-\dfrac{3}{2}x^2+2x+1$ |
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi hình $(H)$ quay quanh trục $Ox$ với $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4x-x^2}$ và trục hoành.
$\dfrac{34\pi}{3}$ | |
$\dfrac{35\pi}{3}$ | |
$\dfrac{32\pi}{3}$ | |
$\dfrac{31\pi}{3}$ |
Tính $\displaystyle\displaystyle\int x\ln x\mathrm{\,d}x$.
$\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x+C$ | |
$\dfrac{1}{2}\ln x^2-\dfrac{1}{4}x^2+C$ | |
$\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{2}x^2+C$ | |
$\dfrac{1}{2}x^2\ln x-\dfrac{1}{4}x^2+C$ |
Tính $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{1}{2}}\dfrac{2x-1}{x+1}\mathrm{\,d}x$.
$1-3\ln3+3\ln2$ | |
$-1-3\ln3+3\ln2$ | |
$2-3\ln3+3\ln2$ | |
$1+3\ln3-3\ln2$ |
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)$.
$\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{3}\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{3}\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{6}\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)+C$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành, đường thẳng $x=-1$, $x=5$ (như hình vẽ).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
$S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x$ | |
$S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x$ | |
$S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x$ | |
$S=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=-2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=1$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
$1$ | |
$-3$ | |
$-1$ | |
$3$ |
Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)\bigg|_a^b=F(b)-F(a)$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f(x)\bigg|_a^b=f(b)-f(a)$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)\bigg|_a^b=-F(b)-F(a)$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)\bigg|_a^b=F(a)-F(b)$ |
Cho hai hàm số $u=u(x)$, $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục. Khi đó, $\displaystyle\displaystyle\int u\mathrm{d}v$ bằng
$uv-\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ | |
$uv+\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ | |
$-uv-\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ | |
$-uv+\displaystyle\displaystyle\int v\mathrm{d}u$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos x+6x$ là
$-\sin x+C$ | |
$\sin x+6x^2+C$ | |
$-\sin x+3x^2+C$ | |
$\sin x+3x^2+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ và $g(x)$ cùng liên tục trên $\mathbb{R}$. Khẳng định nào đúng?
$\displaystyle\displaystyle\int\big[f(x)\cdot g(x)\big]\mathrm{\,d}x=\left(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x\right)\cdot\left(\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x\right)$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\big(f(x)-g(x)\big)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\big[f(x)+g(x)\big]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]\mathrm{\,d}x=\dfrac{\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x}{\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x}$ |
Cho hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Gọi $H$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$). Diện tích của hình $H$ được tính theo công thức nào sau đây?
$S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{\,d}x$ | |
$S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)-g(x)\big|\mathrm{\,d}x$ | |
$S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big|f(x)-g(x)\big|\mathrm{\,d}x$ | |
$S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+xf'(x)=4x^3+4x+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng
$\dfrac{5}{2}$ | |
$\dfrac{4}{3}$ | |
$\dfrac{1}{2}$ | |
$\dfrac{1}{4}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),\,G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(4)+G(4)=4$ và $F(0)+G(0)=1$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int_0^2f(2x)\mathrm{\,d}x$ bằng
$3$ | |
$\dfrac{3}{4}$ | |
$6$ | |
$\dfrac{3}{2}$ |