Ngân hàng bài tập
SS
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x=a$ ($0< a< 4$) cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại $M$ (tham khảo hình vẽ).
Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V=2V_1$. Khi đó
 | $a=3$ |
 | $a=2\sqrt{2}$ |
 | $a=\dfrac{5}{2}$ |
 | $a=2$ |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$ là $$V=\pi\displaystyle\int\limits_0^4\left(\sqrt{x}\right)^2\mathrm{\,d}x=\pi\int\limits_0^4x\mathrm{\,d}x=8\pi.$$
Xét điểm $N(a;0)$. Khi quay tam giác $OMN$ quanh trục $Ox$, ta được khối nón đỉnh $O$, chiều cao $ON=a$, bán kính đáy $r=MN=\sqrt{a}$.
Ta có $V_2=\dfrac{1}{3}\pi MN^2\cdot ON=\dfrac{\pi}{3}a^2$.
Tương tự, ta cũng có khối nón đỉnh $H$ với thể tích $$V_3=\dfrac{1}{3}\pi MN^2\cdot HN=\dfrac{1}{3}\pi\sqrt{a}^2(4-a)=\dfrac{\pi}{3}\big(4a-a^2\big).$$
Vậy $V_1=V_2+V_3=\dfrac{\pi}{3}a^2+\dfrac{\pi}{3}\big(4a-a^2\big)=\dfrac{4\pi}{3}a$.
Theo đề bài thì $V=2V_1$, tức là $$8\pi=2\cdot\dfrac{4\pi}{3}a\Leftrightarrow a=3.$$