Chọn phương án A.

Giao điểm của parabol $(P)$ với trục hoành: $$2x-x^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=0.\end{array}\right.$$
Suy ra $\begin{aligned}[t]
S_H&=\displaystyle\int\limits_0^2\big|2x-x^2\big|\mathrm{d}x\\
&=\displaystyle\int\limits_0^2\big(2x-x^2\big)\mathrm{d}x=\dfrac{4}{3}.
\end{aligned}$

Giao điểm của đường thẳng $y=mx$ với parabol $(P)$:
$$mx=2x-x^2\Leftrightarrow x^2+(m-2)x=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2-m\\ x=0.\end{array}\right.$$

Khi đó hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=mx$ và parabol $(P)$ có diện tích bằng
$$\begin{aligned}
S_1&=\displaystyle\int\limits_0^{2-m}\left|\big(2x-x^2\big)-mx\right|\mathrm{\,d}x\\
&=\displaystyle\int\limits_0^{2-m}\big((2-m)x-x^2\big)\mathrm{\,d}x\\
&=\left(\dfrac{2-m}{2}x^2-\dfrac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^{2-m}=\dfrac{(2-m)^3}{6}.
\end{aligned}$$
Theo đề bài thì $$S_1=\dfrac{S_H}{2}\Leftrightarrow\dfrac{(2-m)^3}{6}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow m=2-\sqrt[3]{4}.$$