Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$. Biết $\dfrac{1}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f'(x)\ln x$ và $f(2)=\dfrac{1}{\ln2}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x$ bằng
 | $-\dfrac{7}{4}$ |
 | $\dfrac{1}{2}$ |
 | $-\dfrac{1}{2}$ |
 | $\dfrac{7}{4}$ |
Chọn phương án D.
Vì $\dfrac{1}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f'(x)\ln x$ nên $\displaystyle\int f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{x^2}$.
Đặt $\begin{cases}
u=f(x)\\ v'=\dfrac{1}{x}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
u'=f'(x)\\ v=\ln x
\end{cases}\,\,x\in(0;+\infty)$.
Ta có $\begin{aligned}[t]
\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{f(x)}{x}\mathrm{\,d}x&=f(x)\ln x\bigg|_1^2-\displaystyle\int\limits_1^2f'(x)\ln x\mathrm{\,d}x\\
&=\big[f(2)\ln2-f(1)\ln1\big]-\dfrac{1}{x^2}\bigg|_1^2\\
&=\big[\dfrac{1}{\ln2}\cdot\ln2-f(1)\cdot0\big]-\left[\dfrac{1}{4}-1\right]\\
&=\left[1-0\right]+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}.
\end{aligned}$