Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} x^2-1 &\text{khi }x\geq2\\ x^2-2x+3 &\text{khi }x< 2 \end{cases}$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}f\left(2\sin x+1\right)\cos x\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{23}{3}$ | |
$\dfrac{23}{6}$ | |
$\dfrac{17}{6}$ | |
$\dfrac{17}{3}$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos2x\mathrm{d}x$ bằng cách đặt $\begin{cases}u=x^2\\ \mathrm{d}v=\cos2x\mathrm{d}x\end{cases}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}x\sin2x\mathrm{\,d}x\) bằng
\(\dfrac{\pi}{2}\) | |
\(\dfrac{1}{4}\) | |
\(1\) | |
\(\dfrac{3}{4}\) |
Tính \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{3}}\sin{2x}\mathrm{\,d}x\).
\(I=-\dfrac{1}{4}\) | |
\(I=0,019\) | |
\(I=-\dfrac{3}{4}\) | |
\(I=\dfrac{3}{4}\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln3\) (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Khi đó, giá trị của \(a\cdot b\) là
\(2\) | |
\(-2\) | |
\(-4\) | |
\(3\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\left(\sin x\right)^2-5\sin x+6}\mathrm{\,d}x=a\ln\dfrac{4}{c}+b\), với \(a,\,b\) là các số hữu tỉ, \(c>0\). Tính tổng \(S=a+b+c\).
\(S=3\) | |
\(S=4\) | |
\(S=0\) | |
\(S=1\) |
Cho \(M\), \(N\) là các số thực, xét hàm số \(f(x)=M\sin\pi x+N\cos\pi x\) thỏa mãn \(f(1)=3\) và \(\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{1}{2}}f(x)\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{\pi}\). Giá trị của \(f'\left(\dfrac{1}{4}\right)\) bằng
\(\dfrac{5\pi\sqrt{2}}{2}\) | |
\(-\dfrac{5\pi\sqrt{2}}{2}\) | |
\(-\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}\) | |
\(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}\) |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\sin{2x}+\sin x\right)\mathrm{\,d}x\).
\(5\) | |
\(3\) | |
\(4\) | |
\(2\) |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits f(t)\mathrm{\,d}t=t^2+3t+C$. Tính $\displaystyle\displaystyle\int\limits f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x$.
$\displaystyle\displaystyle\int f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x=2\sin^2x+6\sin{x}+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x=2\sin^22x+6\sin2x+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\sin^22x+\dfrac{3}{2}\sin2x+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int f\left(\sin2x\right)\cos2x\mathrm{\,d}x=\sin^22x+3\sin2x+C$ |
Tìm đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{\cos4x}{2}+3\sin4x$.
$y'=12\cos4x-2\sin4x$ | |
$y'=12\cos4x+2\sin4x$ | |
$y'=-12\cos4x+2\sin4x$ | |
$y'=3\cos4x-\dfrac{1}{2}\sin4x$ |
Tìm đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin^22x-\cos3x$.
$f'\left(x\right)=2\sin4x-3\sin3x$ | |
$f'\left(x\right)=2\sin4x+3\sin3x$ | |
$f'\left(x\right)=\sin4x+3\sin3x$ | |
$f'\left(x\right)=2\sin2x+3\sin3x$ |
Tìm đạo hàm của hàm số $y=2\sin3x+\cos2x$.
$y'=6\cos3x-2\sin2x$ | |
$y'=2\cos3x+\sin2x$ | |
$y'=-6\cos3x+2\sin2x$ | |
$y'=2\cos3x-\sin2x$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0)=4$ và $f'(x)=2\sin^2x+3$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}f(x)\mathrm{d}x$ bằng
$\dfrac{\pi^2-2}{8}$ | |
$\dfrac{\pi^2+8\pi-8}{8}$ | |
$\dfrac{\pi^2+8\pi-2}{8}$ | |
$\dfrac{3\pi^2+2\pi-3}{8}$ |
Tính thể tích $V$ của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,\,x=\pi$. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\,(0\leq x\leq\pi)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x+2$.
$\dfrac{7\pi}{6}+1$ | |
$\dfrac{9\pi}{8}+1$ | |
$\dfrac{7\pi}{6}+2$ | |
$\dfrac{9\pi}{8}+2$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{4}}\cos4x\cos x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\sqrt{2}}{a}+\dfrac{b}{c}$ với $a,\,b,\,c$ là các số nguyên, $c< 0$ và $\dfrac{b}{c}$ tối giản. Tổng $a+b+c$ bằng
$-77$ | |
$-17$ | |
$103$ | |
$43$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}\sin x\mathrm{\,d}x$.
$I=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | |
$I=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | |
$I=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | |
$I=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
Tích phân $f\left(x\right)=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{3}}\cos x\mathrm{d}x$ bằng
$\dfrac{1}{2}$ | |
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | |
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | |
$-\dfrac{1}{2}$ |
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{3}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2x}$ bằng
$\cot\dfrac{\pi}{3}-\cot\dfrac{\pi}{4}$ | |
$\cot\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{4}$ | |
$-\cot\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{4}$ | |
$-\cot\dfrac{\pi}{3}-\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos{x}+2$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{4}$.
$S=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | |
$S=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{7}{10}$ | |
$S=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | |
$S=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\sin x\mathrm{\,d}x\) bằng
\(\pi^2-4\) | |
\(\pi^2+4\) | |
\(2\pi^2-3\) | |
\(2\pi^2+3\) |