Cặp số nào sau đây có tính chất "Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại"?
 | \(\tan x^2\) và \(\dfrac{1}{\cos^2x^2}\) |
 | \(\sin2x\) và \(\sin^2x\) |
 | \(\mathrm{e}^x\) và \(\mathrm{e}^{-x}\) |
 | \(\sin2x\) và \(\cos^2x\) |
Phát biểu nào sau đây là đúng?
| \(\displaystyle\int x\sin x\mathrm{\,d}x=x\cos x+\sin x+C\) |
| \(\displaystyle\int x\sin x\mathrm{\,d}x=-x\cos x+\sin x+C\) |
| \(\displaystyle\int x\sin x\mathrm{\,d}x=-x\cos x-\sin x+C\) |
| \(\displaystyle\int x\sin x\mathrm{\,d}x=x\cos x-\sin x+C\) |
Biết \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) và \(F(2)=1\). Khi đó \(F(3)\) bằng bao nhiêu?
| \(\ln\dfrac{3}{2}\) |
| \(\ln2+1\) |
| \(\ln2\) |
| \(\dfrac{1}{2}\) |
Biết \(\displaystyle\int(x+3)\cdot\mathrm{e}^{-3x+1}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{m}\mathrm{e}^{-3x+1}(3x+n)+C\) với \(m,\,n\) là các số nguyên. Tính tổng \(S=m+n\).
| \(10\) |
| \(1\) |
| \(9\) |
| \(19\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên đoạn \([-2;1]\) và \(f(-2)=3\), \(f(1)=7\). Tính \(I=\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}f'(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(I=\dfrac{7}{3}\) |
| \(I=-4\) |
| \(I=10\) |
| \(I=4\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}k\mathrm{\,d}x=k(a-b),\,\forall k\in\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x,\,\forall c\in(a;b)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(t)\mathrm{\,d}t\) |
Nếu \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(t)\mathrm{\,d}t\), với \(t=\sqrt{1+x}\) thì \(f(t)\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
| \(f(t)=t^2-1\) |
| \(f(t)=2t^2+2t\) |
| \(f(t)=t^2+t\) |
| \(f(t)=2t^2-2t\) |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(x+2)^3\mathrm{\,d}x\).
| \(I=60\) |
| \(I=240\) |
| \(I=56\) |
| \(I=120\) |
Tính \(I=\displaystyle\int\limits_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^2}\dfrac{\left(1-\ln x\right)^2}{x}\mathrm{\,d}x\) được kết quả là
| \(\dfrac{4}{3}\) |
| \(\dfrac{5}{3}\) |
| \(\dfrac{1}{3}\) |
| \(\dfrac{13}{3}\) |
Biết rằng \(\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{1}{2x-1}\mathrm{\,d}x=\ln a\). Giá trị của \(a\) là
| \(81\) |
| \(27\) |
| \(3\) |
| \(9\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\left(\sin x\right)^2-5\sin x+6}\mathrm{\,d}x=a\ln\dfrac{4}{c}+b\), với \(a,\,b\) là các số hữu tỉ, \(c>0\). Tính tổng \(S=a+b+c\).
| \(S=3\) |
| \(S=4\) |
| \(S=0\) |
| \(S=1\) |
Giả sử \(\displaystyle\int\limits_{3}^{5}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2-x}=a\ln5+b\ln3+c\ln2\). Tính giá trị biểu thức \(S=-2a+b+3c^2\).
| \(S=3\) |
| \(S=6\) |
| \(S=-2\) |
| \(S=0\) |
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}f\left(\tan x\right)\mathrm{\,d}x=4\) và \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2\cdot f(x)}{x^2+1}\mathrm{\,d}x=2\). Tính \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(6\) |
| \(1\) |
| \(0\) |
| \(2\) |
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và đường thẳng \(y=x\) được tính theo công thức nào sau đây?
| \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left|x^2-2x\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left|\dfrac{1}{2}x^2-x\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(\dfrac{1}{2}x^2-x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(\dfrac{1}{2}x^2-x\right)\mathrm{\,d}x\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=-x^2+4x-3\), \(x=0\), \(x=3\), \(Ox\).
| \(-\dfrac{8}{3}\) |
| \(-\dfrac{4}{3}\) |
| \(\dfrac{4}{3}\) |
| \(\dfrac{8}{3}\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left(\mathscr{C}\right)\colon y=x^4-2x^2+1\) và trục hoành.
| \(\dfrac{8}{15}\) |
| \(-\dfrac{15}{16}\) |
| \(\dfrac{15}{8}\) |
| \(\dfrac{16}{15}\) |
Cho \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y=\sqrt{x}\), \(y=0\), \(y=2-x\). Diện tích của \((H)\) là
| \(\dfrac{4\sqrt{2}-1}{3}\) |
| \(\dfrac{8\sqrt{2}+3}{6}\) |
| \(\dfrac{7}{6}\) |
| \(\dfrac{5}{6}\) |
Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành: \(y=\sin x\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=12\pi\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{12\pi}\left(\sin x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{12\pi}\sin x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi^2\displaystyle\int\limits_{0}^{12\pi}\left(\sin x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi^2\displaystyle\int\limits_{0}^{12\pi}\sin x\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm bậc hai \(y=f(x)\) có đồ thị như hình bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và \(Ox\) quanh \(Ox\).
| \(\dfrac{4\pi}{3}\) |
| \(-\dfrac{12\pi}{15}\) |
| \(\dfrac{16\pi}{15}\) |
| \(\dfrac{16\pi}{5}\) |
Một ô tô đang chạy với vận tốc \(54\) km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc \(a(t)=3t-8\) (m/s\(^2\)) trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường mà ô tô đi được sau \(10\) s kể từ lúc tăng tốc là
| \(540\) m |
| \(150\) m |
| \(250\) m |
| \(246\) m |
Cho hai số phức \(z=x-yi\) và \(w=2i+3x\), (\(x,\,y\in\mathbb{R}\)). Biết \(z=w\). Giá trị của \(x\) và \(y\) lần lượt là
| \(2\) và \(-3\) |
| \(-2\) và \(0\) |
| \(0\) và \(2\) |
| \(0\) và \(-2\) |
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(4;0)\), \(B(0;-3)\) và điểm \(C\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\). Khi đó số phức được biểu diễn bởi điểm \(C\) là
| \(z=-3-4i\) |
| \(z=4+3i\) |
| \(z=4-3i\) |
| \(z=-3+4i\) |
Cho số phức \(z=6+7i\). Điểm \(M\) biểu diễn cho số phức \(\overline{z}\) trên mặt phẳng \(Oxy\) là
| \(M(-6;-7)\) |
| \(M(6;-7)\) |
| \(M(6;7i)\) |
| \(M(6;7)\) |
Cho \(x,\,y\) là các số thực. Số phức \(z=i\left(1+xi+y+2i\right)\) bằng \(0\) khi
| \(x=-1;\,y=-2\) |
| \(x=0;\,y=0\) |
| \(x=-2;\,y=-1\) |
| \(x=2;\,y=1\) |
Cho số phức \(z=x+yi\) (\(x,\,y\in\mathbb{R}\)) có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \(|z-4-2i|=|z-2|\). Tính \(P=x^2+y^2\).
| \(10\) |
| \(16\) |
| \(8\) |
| \(32\) |
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z|=2\) và \(\left|z^2+1\right|=4\). Tính \(\left|z+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|\).
| \(3+\sqrt{7}\) |
| \(3+2\sqrt{2}\) |
| \(7+\sqrt{3}\) |
| \(16\) |
Tìm các căn bậc hai của \(-6\).
| \(-\sqrt{6}i\) |
| \(\pm\sqrt{6}i\) |
| \(\pm6i\) |
| \(\sqrt{6}i\) |
Trong tập số phức, phương trình \(z^2-2z+5=0\) có nghiệm là
| \(z=-1\pm2i\) |
| \(z=2\pm2i\) |
| \(z=-2\pm2i\) |
| \(z=1\pm2i\) |
Cho \(\vec{m}=(1;0;-1)\), \(\vec{n}=(0;1;1)\). Kết luận nào sai?
| Góc của \(\vec{m}\) và \(\vec{n}\) là \(30^\circ\) |
| \(\left[\vec{m},\vec{n}\right]=(1;-1;1)\) |
| \(\vec{m}\cdot\vec{n}=-1\) |
| \(\vec{m}\) và \(\vec{n}\) không cùng phương |
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(0;-2;-1)\), \(B(-2;-4;3)\), \(C(1;3;-1)\). Tìm điểm \(M\in(Oxy)\) sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
| \(\left(-\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};0\right)\) |
| \(\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};0\right)\) |
| \(\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5};0\right)\) |
| \(\left(\dfrac{1}{5};-\dfrac{3}{5};0\right)\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2+6x-4y+2z-2=0\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \((S)\) là
| \(I(-3;2;-1)\) và \(R=4\) |
| \(I(-3;2;-1)\) và \(R=16\) |
| \(I(3;-2;1)\) và \(R=4\) |
| \(I(3;-2;1)\) và \(R=16\) |
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với hai mặt phẳng song song \((P)\colon x-2y+2z+6=0\) và \((Q)\colon x-2y+2z-10=0\) có tâm \(I\) trên trục \(Oy\) là
| \(x^2+y^2+z^2+2y-\dfrac{55}{9}=0\) |
| \(x^2+y^2+z^2+2y-60=0\) |
| \(x^2+y^2+z^2-2y+55=0\) |
| \(x^2+y^2+z^2-2y-\dfrac{55}{9}\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z-11=0\) và mặt phẳng \((P)\colon x-2y+2z+1=0\). Gọi \((C)\) là đường tròn giao tuyến của \((P)\) và \((S)\). Tính chu vi đường tròn \((C)\).
| \(10\pi\) |
| \(4\pi\) |
| \(6\pi\) |
| \(8\pi\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;2;0)\) và mặt phẳng \((\alpha)\colon x+2y-2z+1=0\). Khoảng cách từ \(M\) đến \((\alpha)\) là
| \(1\) |
| \(3\) |
| \(2\) |
| \(4\) |
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng \((\alpha)\colon3x+2y-z+1=0\) và \(\left(\alpha'\right)\colon3x+y+11z-1=0\) là
| Vuông góc với nhau |
| Trùng nhau |
| Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau |
| Song song với nhau |
Mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\colon(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=49\) tại điểm \(M(7;-1;5)\) có phương trình là
| \(6x+2y+3z-55=0\) |
| \(6x+2y+3z+55=0\) |
| \(3x+y+z-22=0\) |
| \(3x+y+z+22=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A(3;-2;1)\), \(B(-4;0;3)\), \(C(1;4;-3)\), \(D(2;3;5)\). Phương trình mặt phẳng chứa \(AC\) và song song với \(BD\) là
| \(12x-10y+21z-35=0\) |
| \(12x+10y-21z+35=0\) |
| \(12x+10y+21z+35=0\) |
| \(12x-10y-21z-35=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(0;2;-3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a}=(4;-3;1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là
| \(\begin{cases}x=4t\\ y=-2-3t\\ z=3+t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=4t\\ y=-2-3t\\ z=-3-t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=-4t\\ y=2+3t\\ z=-3-t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=4\\ y=-3+2t\\ z=1-3t\end{cases}\) |
Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(3;2;1)\) và song song với đường thẳng \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z+3}{1}\) là
| \(\begin{cases}x=3-2t\\ y=2-4t\\ z=1-t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=2+3t\\ y=4+2t\\ z=1+t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=2t\\ y=4t\\ z=3+t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=3+2t\\ y=2-4t\\ z=1+t\end{cases}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon x+2y+z-4=0\) và đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{3}\). Đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{3}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}\) |
| \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}\) |