Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon x+2y+z-4=0\) và đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{3}\). Đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
 | \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{3}\) |
 | \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}\) |
 | \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}\) |
 | \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}\) |
Chọn phương án D.
- \(\vec{m}=(1;2;1)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\)
- \(\vec{n}=(2;1;3)\) là vectơ chỉ phương của \(d\)
Vì \(\begin{cases}
\Delta\subset(P)\\
\Delta\bot d
\end{cases}\) nên \(\left[\vec{m},\vec{n}\right]=(5;-1;-3)\) là vectơ chỉ phương của \(\Delta\) (1)
Gọi \(M=d\cap\Delta\). Vì \(\begin{cases}
\Delta\subset(P)\\
\Delta\cap d=M
\end{cases}\) nên \(M=d\cap(P)\).
Ta có \(d\colon\begin{cases}
x=-1+2t\\ y=t\\ z=-2+3t
\end{cases}\). Thay vào phương trình \(x+2y+z-4=0\) ta được $$(-1+2t)+2t+(-2+3t)-4=0\Leftrightarrow t=1.$$Suy ra \(\begin{cases}
x=-1+2\cdot1=1\\ y=1\\ z=-2+3\cdot1
\end{cases}\Rightarrow M(1;1;1)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta\colon\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}\).