Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} x^2+3 &\text{với }x\geq1\\ 5-x &\text{với }x< 1 \end{cases}$. Tính $$I=2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}f(\sin x)\cos x\mathrm{\,d}x+3\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(3-2x)\mathrm{\,d}x.$$
 | $I=\dfrac{32}{3}$ |
 | $I=32$ |
 | $I=\dfrac{71}{6}$ |
 | $I=31$ |
Chọn phương án D.
Đặt $u=\sin x\Rightarrow\mathrm{d}u=\cos x\mathrm{\,d}x$.
- $x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$
- $x=0\Rightarrow u=\sin0=0$
Suy ra $\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}f(\sin x)\cos x\mathrm{\,d}x=\int\limits_0^1f(u)\mathrm{\,d}u=\int\limits_0^1f(x)\mathrm{\,d}x$.
Đặt $u=3-2x\Rightarrow\mathrm{d}u=-2\mathrm{\,d}x$ hay $\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{2}\mathrm{d}u$.
- $x=1\Rightarrow u=1$
- $x=0\Rightarrow u=3$
Suy ra $\begin{aligned}[t]
\displaystyle\int\limits_0^1f(3-2x)\mathrm{\,d}x&=\int\limits_3^1f(u)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{\,d}u\\
&=-\dfrac{1}{2}\int\limits_3^1f(u)\mathrm{\,d}u\\ &=\dfrac{1}{2}\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x.
\end{aligned}$
Vậy $\begin{aligned}[t]
I&=2\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\mathrm{\,d}x+3\cdot\dfrac{1}{2}\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x\\
&=2\displaystyle\int\limits_0^1(5-x)\mathrm{\,d}x+\dfrac{3}{2}\int\limits_1^3\big(x^2+3\big)\mathrm{\,d}x\\
&=2\cdot\dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{44}{3}=31.
\end{aligned}$