Chọn phương án D.

Giả sử $z=a+bi\Rightarrow\overline{z}=a-bi$.

Theo đề bài ta có
\begin{eqnarray*}
&z^2+2\overline{z}&=0\\
\Leftrightarrow&(a+bi)^2+2\left(a-bi\right)&=0\\
\Leftrightarrow&\left(a^2-b^2+2abi\right)+\left(2a-2bi\right)&=0\\
\Leftrightarrow&\left(a^2+2a-b^2\right)+2b(a-1)i&=0\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{ll}
a^2+2a-b^2 &(1)\\
b=0 &(2)\\
a-1=0 &(3)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được $a^2+2a=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
a=0\\ a=-2.
\end{array}\right.$

Thay $(3)$ vào $(1)$ ta được $3-b^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
b=\sqrt{3}\\ b=-\sqrt{3}.
\end{array}\right.$

Vậy có $4$ số phức thỏa đề là $z_1=0$, $z_2=-2$, $z_3=1+i\sqrt{3}$ và $z_4=1-i\sqrt{3}$.