Chọn phương án C.

Gọi $I(a;b;c)$ là tâm của mặt cầu.

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)\colon x=0$ nên $$R=\mathrm{d}\left(I,(Oyz)\right)=\dfrac{|a|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=|a|.$$

• $\overrightarrow{MI}=(a-2;b-1;c-4)$
• $\overrightarrow{NI}=(a-5;b;c)$
• $\overrightarrow{PI}=(a-1;b+3;c-1)$

Vì mặt cầu đi qua ba điểm $M,\,N,\,P$ nên
$$\begin{aligned}
\begin{cases}
MI=R\\ NI=R\\ PI=R
\end{cases}\Leftrightarrow&\begin{cases}
\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2+(c-4)^2}&=|a|\\
\sqrt{(a-5)^2+b^2+c^2}&=|a|\\
\sqrt{(a-1)^2+(b+3)^2+(c-1)^2}&=|a|
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
(a-2)^2+(b-1)^2+(c-4)^2&=a^2\\
(a-5)^2+b^2+c^2&=a^2\\
(a-1)^2+(b+3)^2+(c-1)^2&=a^2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
b^2+c^2-4a-2b-8c&=-21\;(1)\\
b^2+c^2-10a&=-25\;(2)\\
b^2+c^2-2a+6b-2c&=-11\;(3)
\end{cases}
\end{aligned}$$
Lấy $(3)-(1)$ ta được $$\begin{aligned}
2a+8b+6c=10\Leftrightarrow&a+4b+3c=5\\
\Leftrightarrow&4b+3c=5-a\;(4)
\end{aligned}$$
Lấy $(3)-(2)$ ta được $$\begin{aligned}
8a+6b-2c=14\Leftrightarrow&4a+3b-c=7\\
\Leftrightarrow&3b-c=7-4a\;(5)
\end{aligned}$$
Giải hệ phương trình $(4)$ và $(5)$ ta được $\begin{cases}
b=2-a\\ c=a-1.
\end{cases}$

Thay vào phương trình $(2)$ ta được
\begin{eqnarray*}
&(2-a)^2+(a-1)^2-10a&=-25\\
\Leftrightarrow&2a^2-16a+30&=0\\
\Leftrightarrow&a^2-8a+15&=0\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}
a=3\\ a=5
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}
b=-1;\,c=2\\ b=-3;\,c=4
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}
I(3;-1;2)\\ I(5;-3;4)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
Vậy có $2$ mặt cầu thỏa mãn đề bài.