Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 | \(\displaystyle\int3x^2\mathrm{\,d}x=x^3+C\) |
 | \(\displaystyle\int\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C\) |
 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{2x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{\ln|x|}{2}+C\) |
 | \(\displaystyle\int\sin2x\mathrm{\,d}x=2\cos2x+C\) |
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin3x\) là
| \(\dfrac{1}{3}\cos3x+C\) |
| \(-\dfrac{1}{3}\cos3x+C\) |
| \(-3\cos3x+C\) |
| \(3\cos3x+C\) |
Xét nguyên hàm \(I=\displaystyle\int x\sqrt{x+2}\mathrm{\,d}x\). Nếu đặt \(t=\sqrt{x+2}\) thì ta được
| \(I=\displaystyle\int\left(4t^4-2t^2\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int\left(t^4-2t^2\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int\left(2t^4-4t^2\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int\left(2t^4-t^2\right)\mathrm{\,d}t\) |
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{K}\) và \(a,\,b\in\mathbb{K}\), \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{K}\). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=F(a)-F(b)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(t)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=F(x)\bigg|_a^b\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=\left(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x\right)\bigg|_a^b\) |
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\). Khi đó hiệu số \(F(0)-F(1)\) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}-F(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}F(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(-\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên \([a;b]\). Khẳng định nào sau đây sai?
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(t)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) liên tục trên \([a;b]\), \(f(b)=5\), \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=3\sqrt{5}\). Tính \(f(a)\).
| \(f(a)=3\sqrt{5}\) |
| \(f(a)=\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-3\right)\) |
| \(f(a)=\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-3\right)\) |
| \(f(a)=\sqrt{5}\left(3-\sqrt{5}\right)\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=\dfrac{1}{2x-1}\) và \(f(1)=1\). Giá trị \(f(5)\) bằng
| \(1+\ln2\) |
| \(1+\ln3\) |
| \(\ln2\) |
| \(\ln3\) |
Giá trị của tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}x\sin x\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(\dfrac{4+\pi}{4\sqrt{2}}\) |
| \(\dfrac{4-\pi}{4\sqrt{2}}\) |
| \(\dfrac{2-\pi}{2\sqrt{2}}\) |
| \(\dfrac{2+\pi}{2\sqrt{2}}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) liên tục trên \([0;2]\) và \(f(2)=3\), \(\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=3\). Tính \(\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x\cdot f'(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(6\) |
| \(3\) |
| \(0\) |
| \(-3\) |
Giả sử tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{6}\dfrac{1}{2x+1}\mathrm{\,d}x=\ln M\), tìm \(M\).
| \(M=13\) |
| \(M=4,33\) |
| \(M=\sqrt{\dfrac{13}{3}}\) |
| \(M=\dfrac{13}{3}\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2+1}{x+1}\mathrm{\,d}x=a+b\ln c\), với \(a\in\mathbb{Q}\), \(b\in\mathbb{Z}\), \(c\) là số nguyên tố. Ta có \(2a+b+c\) bằng
| \(5\) |
| \(4\) |
| \(3\) |
| \(2\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0;+\infty)\) và thỏa mãn \(f(1)=1\), \(f(x)=f'(x)\sqrt{3x+1}\), với mọi \(x>0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(4< f(5)<5\) |
| \(3< f(5)<4\) |
| \(1< f(5)<2\) |
| \(2< f(5)<3\) |
Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([1;4]\) và thỏa mãn \(f(x)=\dfrac{f\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}\). Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{3}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(I=3+2\ln^22\) |
| \(I=\ln^2\) |
| \(I=2\ln2\) |
| \(I=2\ln^22\) |
Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) thì diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) là
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{b}^{a}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
Diện tích hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) (\(a<b\) và \(f(x)\) liên tục trên \([a;b]\)) (phần gạch sọc trong hình vẽ) tính theo công thức
| \(S=-\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\left|\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\right|\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol \(y=x^2\), đường thẳng \(y=-x+2\) và trục hoành trên đoạn \([0;2]\) (phần gạch sọc trong hình vẽ).
| \(\dfrac{5}{6}\) |
| \(\dfrac{7}{6}\) |
| \(\dfrac{2}{3}\) |
| \(\dfrac{3}{5}\) |
Cho hình \(D\) giới hạn bởi các đường \(y=x^2-2\) và \(y=-|x|\). Khi đó diện tích của hình \(D\) là
| \(\dfrac{13}{3}\) |
| \(\dfrac{7\pi}{3}\) |
| \(\dfrac{7}{3}\) |
| \(\dfrac{13\pi}{3}\) |
Cho hình phẳng \((D)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\), hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \((D)\) quanh trục hoành.
| \(3\pi\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=x^2-ax\) với trục hoành (\(a\neq0\)). Quay hình \((H)\) xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích \(V=\dfrac{16\pi}{15}\). Tìm \(a\).
| \(a=-2\) |
| \(a=-3\) |
| \(a=\pm2\) |
| \(a=2\) |
Số phức \(-3+7i\) có phần ảo bằng
| \(-7\) |
| \(-3\) |
| \(3\) |
| \(7\) |
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho các điểm \(A,\,B\) như hình vẽ trên. Trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) biểu diễn số phức
| \(-\dfrac{1}{2}+2i\) |
| \(2-\dfrac{1}{2}i\) |
| \(-1+2i\) |
| \(2-i\) |
Cho hai số phức \(z_1=2-2i\), \(z_2=-3+3i\). Khi đó số phức \(z_1-z_2\) là
| \(-1+i\) |
| \(-5+5i\) |
| \(5-5i\) |
| \(-5i\) |
Cho hai số phức \(z_1=2+3i\), \(z_2=4+5i\). Số phức liên hợp của số phức \(w=2\left(z_1+z_2\right)\) là
| \(\overline{w}=28i\) |
| \(\overline{w}=12+8i\) |
| \(\overline{w}=8+10i\) |
| \(\overline{w}=12-16i\) |
Cho hai số phức \(z_1,\,z_2\) thỏa mãn \(\left|z_1\right|=2\), \(\left|z_2\right|=\sqrt{3}\). Gọi \(M,\,N\) là các điểm biểu diễn cho \(z_1\) và \(iz_2\). Biết \(\widehat{MON}=30^\circ\). Tính \(S=\left|z_1^2+4z_2^2\right|\).
| \(4\sqrt{7}\) |
| \(3\sqrt{3}\) |
| \(5\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{5}\) |
Tìm phần thực, phần ảo của số phức $$z=\dfrac{3-i}{1+i}+\dfrac{2+i}{i}.$$
| Phần thực là \(2\), phần ảo là \(4i\) |
| Phần thực là \(2\), phần ảo là \(-4i\) |
| Phần thực là \(2\), phần ảo là \(4\) |
| Phần thực là \(2\), phần ảo là \(-4\) |
Cho số phức \(z=1+i\). Số phức nghịch đảo của \(z\) là
| \(1-i\) |
| \(\dfrac{1-i}{2}\) |
| \(\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}\) |
| \(\dfrac{-1+i}{2}\) |
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\dfrac{\overline{z}+i}{z-1}=2-i\). Tìm số phức \(w=1+z+z^2\).
| \(w=5-2i\) |
| \(5+2i\) |
| \(w=\dfrac{9}{2}+2i\) |
| \(w=\dfrac{9}{2}-2i\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;2;3)\) và \(\overrightarrow{v}=(-5;1;1)\). Khẳng định nào đúng?
| \(\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|\) |
| \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\) |
| \(\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}\) |
| \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{v}\) |
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(2;-1;5)\), \(B(5;-5;7)\), \(M(x;y;1)\). Với giá trị nào của \(x,\,y\) thì \(A,\,B,\,M\) thẳng hàng?
| \(x=4;\,y=7\) |
| \(x=4;\,y=-7\) |
| \(x=-4;\,y=7\) |
| \(x=-4;\,y=-7\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(-1;-2;3)\), \(B(0;3;1)\), \(C(4;2;2)\). Côsin của góc \(\widehat{BAC}\) bằng
| \(-\dfrac{9}{\sqrt{35}}\) |
| \(-\dfrac{9}{2\sqrt{35}}\) |
| \(\dfrac{9}{\sqrt{35}}\) |
| \(\dfrac{9}{2\sqrt{35}}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-3=0\) có tâm và bán kính là
| \(I(2;-1;1),\,R=9\) |
| \(I(2;-1;1),\,R=3\) |
| \(I(-2;1;-1),\,R=3\) |
| \(I(-2;1;-1),\,R=9\) |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(A(2;-1;2)\) và song song với mặt phẳng \((P)\colon2x-y+3z+2=0\) có phương trình là
| \(2x-y+3z+11=0\) |
| \(2x-y-3z+11=0\) |
| \(2x-y+3z-11=0\) |
| \(2x-y+3z-9=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A(2;-3;0)\) và mặt phẳng \((\alpha)\colon x+2y-z+3=0\). Tìm phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) sao cho \((P)\) vuông góc với \((\alpha)\) và \((P)\) song song với trục \(Oz\)?
| \(2x+y-1=0\) |
| \(y+2z+3=0\) |
| \(2x-y-7=0\) |
| \(x+2y-z+4=0\) |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \((P)\colon x+\sqrt{2}y-z+3=0\) cắt mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2=5\) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là
| \(\dfrac{7\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{15\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{9\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{11\pi}{4}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d\colon\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{2}\)?
| \(Q(-2;1;-2)\) |
| \(M(-2;-2;1)\) |
| \(N(2;-1;2)\) |
| \(P(1;1;2)\) |
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình đường thẳng đi qua \(A(1;-2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;-1;-2)\) là
| \(\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+3}{-2}\) |
| \(\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}\) |
| \(\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-3}{-4}\) |
| \(\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{-2}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(d\) là đường thẳng đi qua \(A(1;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\colon4x+3y-7z+1=0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
| \(\begin{cases}x=1+3t\\ y=2-4t\\ z=3-7t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=1+4t\\ y=2+3t\\ z=3-7t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=-1+8t\\ y=-2+6t\\ z=-3-14t\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=-1+4t\\ y=-2+3t\\ z=-3-7t\end{cases}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(1;0;4)\) và đường thẳng \(d\colon\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{x+1}{2}\). Tìm hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) lên đường thẳng \(d\).
| \(H(2;-1;3)\) |
| \(H(1;0;1)\) |
| \(H(-2;3;0)\) |
| \(H(0;1;-1)\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon x+y-z-1=0\) và điểm \(A(1;0;0)\in(P)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A\) nằm trong \((P)\) và tạo với trục \(Oz\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với mặt phẳng \((Q)\colon2x+y-2z+1=0\). Tổng \(S=x_0+y_0+z_0\) bằng
| \(-2\) |
| \(13\) |
| \(-5\) |
| \(12\) |