Cho $F(x)=x+\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\cos x$ | |
$f(x)=1-\sin x$ | |
$f(x)=1+\sin x$ | |
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\sin x$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime}(x)=12x^2+2$, $\forall x\in\mathbb{R}$ và $f(1)=3$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2$, khi đó $F(1)$ bằng
$-3$ | |
$1$ | |
$2$ | |
$7$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\left\{0;-1\right\}$ thỏa mãn điều kiện $f\left(1\right)=-2\ln2$ và $x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x$. Giá trị $f\left(2\right)=a+b\ln3$, với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Tính $a^2+b^2$.
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
$f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ | |
$f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ | |
$f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ | |
$f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa $f(1)=\dfrac{1}{3}$ và $f'(x)=\big[xf(x)\big]^2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giá trị $f(2)$ bằng
$\dfrac{2}{3}$ | |
$\dfrac{3}{2}$ | |
$\dfrac{16}{3}$ | |
$\dfrac{3}{16}$ |
Hàm số $F(x)=x^2+\sin x$ là nguyên hàm của hàm số nào?
$y=\dfrac{1}{3}x^3+\cos x$ | |
$y=2x+\cos x$ | |
$y=\dfrac{1}{3}x^3-\cos x$ | |
$y=2x-\cos x$ |
Biết $F(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{f(x)}{x}$. Tính $\displaystyle\displaystyle\int f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x$.
$\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{2\ln{x}}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{2\ln{x}}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=\dfrac{2\ln{x}}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits f'(x)\ln{x}\mathrm{\,d}x=-\dfrac{2\ln{x}}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1;4\}$ có $f'(x)=\dfrac{2x-5}{x^2-5x+4}$ thỏa mãn $f(3)=1$. Giá trị $f(2)$ bằng
$1$ | |
$-1+3\ln2$ | |
$1+3\ln2$ | |
$1-\ln2$ |
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)\) là
\(\dfrac{x^2+2x-2}{2\sqrt{x^2+2}}+C\) | |
\(\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2+2}}+C\) | |
\(\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+2}}+C\) | |
\(\dfrac{x+2}{2\sqrt{x^2+2}}+C\) |
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x)=x\mathrm{e}^x\) và \(f(0)=2\). Tính \(f(1)\).
\(f(1)=8-2\mathrm{e}\) | |
\(f(1)=\mathrm{e}\) | |
\(f(1)=3\) | |
\(f(1)=5-2\mathrm{e}\) |
Hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(K\) nếu
\(F'(x)=-f(x),\,\forall x\in K\) | |
\(f'(x)=F(x),\,\forall x\in K\) | |
\(F'(x)=f(x),\,\forall x\in K\) | |
\(f'(x)=-F(x),\,\forall x\in K\) |
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\cos2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\cdot\mathrm{e}^x\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'(x)\mathrm{e}^x\) là
\(-\sin2x+\cos2x+C\) | |
\(-2\sin2x+\cos2x+C\) | |
\(-2\sin2x-\cos2x+C\) | |
\(2\sin2x-\cos2x+C\) |
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có \(f\left(3\right)=3\) và \(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1-\sqrt{x+1}}\), \(\forall x>0\). Khi đó \(\displaystyle\int\limits_3^8f\left(x\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
\(7\) | |
\(\dfrac{197}{6}\) | |
\(\dfrac{29}{2}\) | |
\(\dfrac{181}{6}\) |
Hàm số \(F(x)=2\sin x-3\cos x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
\(f(x)=-2\cos x-3\sin x\) | |
\(f(x)=-2\cos x+3\sin x\) | |
\(f(x)=2\cos x+3\sin x\) | |
\(f(x)=2\cos x-3\sin x\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm là hàm số \(f'(x)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-f'(x)+C\) | |
\(\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=-f(x)+C\) | |
\(\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)+C\) | |
\(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=f'(x)+C\) |
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f'(x)=x+\sin x\) và \(f(0)=1\). Tìm \(f(x)\).
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x+2\) | |
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x-2\) | |
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x\) | |
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x+\dfrac{1}{2}\) |
Xác định \(f(x)\) biết \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{x}+\mathrm{e}^x+C\).
\(f(x)=\ln\left|x\right|+\mathrm{e}^x\) | |
\(f(x)=\dfrac{1}{x^2}+\mathrm{e}^x\) | |
\(f(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\mathrm{e}^x\) | |
\(f(x)=\ln x+\mathrm{e}^x\) |
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y=x^2\). Giá trị của biểu thức \(F'(4)\) là
\(2\) | |
\(4\) | |
\(8\) | |
\(16\) |
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
\(\displaystyle\int\left[f(x)\cdot g(x)\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x \cdot\displaystyle\int g(x)\mathrm{\,d}x\) | |
\(\displaystyle\int0\mathrm{\,d}x=0\) | |
\(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=f'(x)+C\) | |
\(\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)+C\) |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:
Hỏi hàm số $y=f\big(x^2-2x\big)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
$1$ | |
$3$ | |
$2$ | |
$4$ |