Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3)$ và $B(6;5;5)$. Xét khối nón $(N)$ có đỉnh $A$, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính $AB$. Khi $(N)$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình dạng $2x+by+cz+d=0$. Giá trị của $b+c+d$ bằng
 | $-21$ |
 | $-12$ |
 | $-18$ |
 | $-15$ |
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0\) và mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x+2y+2z+11=0\). Tìm điểm \(M\) trên mặt cầu \(\left(S\right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(\left(P\right)\) là ngắn nhất.
| \(M\left(0;0;1\right)\) |
| \(M\left(2;-4;-1\right)\) |
| \(M\left(4;0;3\right)\) |
| \(M\left(0;-1;0\right)\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=16\) và các điểm \(A\left(1;0;2\right)\), \(B\left(-1;2;2\right)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,\,B\) sao cho thiết diện của mặt phẳng \((P)\) với mặt cầu \((S)\) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình \((P)\) dưới dạng \(ax+by+cx+3=0\). Tính tổng \(T=a+b+c\).
| \(-2\) |
| \(-3\) |
| \(0\) |
| \(3\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;4;3)$, $B(5;0;3)$. Một hình trụ $(T)$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $AB$ đồng thời nhận $AB$ làm trục của hình trụ. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là tâm các đường tròn đáy của $(T)$ ($M$ nằm giữa $A$, $N$). Khi thiết diện qua trục của $(T)$ có diện tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm $M$ của $(T)$ có dạng $ax+by+cz+d=0$. Giá trị của $b-d$ bằng
| $2\sqrt{2}$ |
| $2+2\sqrt{2}$ |
| $-2\sqrt{2}$ |
| $4+\sqrt{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;2;3)$, $A(2;4;4)$ và hai mặt phẳng $(P)\colon x+y-2z+1=0$, $(Q)\colon x-2y-z+4=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt $(P)$, $(Q)$ lần lượt tại $B,\,C$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nhận $AM$ làm đường trung tuyến.
| $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x+3)^2+y^2+(z-1)^2=10$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $3$?
| $\big(P_2\big)\colon x+2y-2z-8=0$ |
| $\big(P_4\big)\colon x+2y-2z-4=0$ |
| $\big(P_3\big)\colon x+2y-2z-2=0$ |
| $\big(P_1\big)\colon x+2y-2z+8=0$ |
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(1;-1;2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+3y-z+2=0$.
- Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I$, tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.
- Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$.
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-2)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ lớn nhất. Phương trình của $(P)$ là
| $2y+z=0$ |
| $2y-z=0$ |
| $y+z=0$ |
| $y-z=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $G(1;2;3)$ và cắt ba trục $Ox,\,Oy,\,Oz$ lần lượt tại $A,\,B,\,C$ sao cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
| $x+2y+3z-14=0$ |
| $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$ |
| $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1$ |
| $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{9}=1$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho $(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x-2y+10z-14=0$. Mặt phẳng $(P)\colon-x+4z+5=0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn $(\mathscr{C})$. Tọa độ tâm $H$ của $(\mathscr{C})$ là
| $H(1;1;-1)$ |
| $H(-3;1;-2)$ |
| $H(9;1;1)$ |
| $H(-7;1;-3)$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $x+\sqrt{2}y-z+3=0$ cắt mặt cầu $x^2+y^2+z^2=5$ theo giao tuyến là một đường tròn. Chu vi đường tròn đó bằng
| $\pi\sqrt{11}$ |
| $3\pi$ |
| $\pi\sqrt{15}$ |
| $\pi\sqrt{7}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2+4x-8y+2z+1=0$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+3z-3=0$. Biết $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $r$ của đường tròn đó.
| $I\left(\dfrac{8}{7};\dfrac{25}{7};-\dfrac{16}{7}\right)$ và $r=\dfrac{2\sqrt{854}}{3}$ |
| $I\left(\dfrac{8}{7};-\dfrac{31}{7};-\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{5}$ |
| $I\left(-\dfrac{8}{7};\dfrac{31}{7};\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{7}$ |
| $I\left(-\dfrac{8}{7};\dfrac{31}{7};\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $H(1;2;2)$ và cắt tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A,\,B,\,C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
| $2x+y+z-2=0$ |
| $x+2y-2z-9=0$ |
| $x+2y+2z-9=0$ |
| $2x+y+z-6=0$ |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left(S\right)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0\) cắt mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x+y-z+4=0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\). Tính diện tích \(S\) của hình tròn \(\left(\mathscr{C}\right)\).
| \(S=\dfrac{2\pi\sqrt{78}}{3}\) |
| \(S=2\pi\sqrt{6}\) |
| \(S=6\pi\) |
| \(S=\dfrac{26\pi}{3}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left(1;2;-1\right)\) và cắt mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x-2y-2z-8=0\) theo một đường tròn có bán kính bằng \(4\) có phương trình là
| \(\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=5\) |
| \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=9\) |
| \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=25\) |
| \(\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=3\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\colon4x-3y+2z+28=0\) và điểm \(I\left(0;1;2\right)\). Viết phương trình của mặt cầu \(\left(S\right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\).
| \(\left(S\right)\colon x^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=29\) |
| \(\left(S\right)\colon x^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=\sqrt{29}\) |
| \(\left(S\right)\colon x^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+2\right)^2=841\) |
| \(\left(S\right)\colon x^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+2\right)^2=29\) |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu đi qua ba điểm \(A\left(2;0;1\right)\), \(B\left(1;0;0\right)\), \(C\left(1;1;1\right)\) và có tâm thuộc mặt phẳng \(\left(P\right)\colon x+y+z-2=0\) có phương trình là
| \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1\) |
| \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=4\) |
| \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=1\) |
| \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=4\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon x+y-z-1=0\) và điểm \(A(1;0;0)\in(P)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A\) nằm trong \((P)\) và tạo với trục \(Oz\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với mặt phẳng \((Q)\colon2x+y-2z+1=0\). Tổng \(S=x_0+y_0+z_0\) bằng
| \(-2\) |
| \(13\) |
| \(-5\) |
| \(12\) |
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \((P)\colon x+\sqrt{2}y-z+3=0\) cắt mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2=5\) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là
| \(\dfrac{7\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{15\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{9\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{11\pi}{4}\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm \(I(3;-1;0)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\colon x+2y-2z-10=0\)?
| \((x-3)^2+(y+1)^2+z^2=9\) |
| \((x-3)^2+(y+1)^2+z^2=\dfrac{1}{9}\) |
| \((x+3)^2+(y-1)^2+z^2=9\) |
| \((x+3)^2+(y-1)^2+z^2=\dfrac{1}{9}\) |