Ngân hàng bài tập
S
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2-2y-2z-1=0\) và mặt phẳng \((P)\colon2x+2y-2z+15=0\). Tính khoảng cách ngắn nhất giữa điểm \(M\in(S)\) và điểm \(N\in(P)\).
 | \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) |
 | \(\dfrac{3\sqrt{2}}{3}\) |
 | \(\dfrac{3}{2}\) |
 | \(\dfrac{2}{3}\) |
1 lời giải
Chọn phương án A.
Mặt cầu \((S)\) có \(\begin{cases}
-2a=0\\ -2b=-2\\ -2c=-2\\ d=-1
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
a=0\\ b=1\\ c=1\\ d=-1.
\end{cases}\)
Suy ra tâm \(I(0;1;1)\), bán kính \(R=\sqrt{0^2+1^2+1^2-(-1)}=\sqrt{3}\).
Lại có \(d\left(I,(P)\right)=\dfrac{\left|2\cdot0+2\cdot1-2\cdot1+15\right|}{\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\).
Khoảng cách \(MN\) ngắn nhất khi ba điểm \(I,\,M,\,N\) thẳng hàng.
Khi đó, \(MN=d\left(I,(P)\right)-R=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\).