Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2+4x-8y+2z+1=0$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+3z-3=0$. Biết $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $r$ của đường tròn đó.
 | $I\left(\dfrac{8}{7};\dfrac{25}{7};-\dfrac{16}{7}\right)$ và $r=\dfrac{2\sqrt{854}}{3}$ |
 | $I\left(\dfrac{8}{7};-\dfrac{31}{7};-\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{5}$ |
 | $I\left(-\dfrac{8}{7};\dfrac{31}{7};\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{7}$ |
 | $I\left(-\dfrac{8}{7};\dfrac{31}{7};\dfrac{2}{7}\right)$ và $r=\dfrac{\sqrt{854}}{3}$ |
Chọn phương án C.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $A(-2;4;-1)$ và bán kính $R=2\sqrt{5}$.
Đặt $d=\mathrm{d}\left(A,(P)\right)=\dfrac{\left|2\cdot(-2)+4+3\cdot(-1)-3\right|}{\sqrt{2^2+1^2+3^2}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$.
Khi đó $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2-\left(\dfrac{3\sqrt{14}}{7}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{854}}{7}$.
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$, khi đó tâm đường tròn đã cho chính là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$.
Ta có $\Delta\colon\begin{cases}
x=-2+2t\\ y=4+t\\ z=-1+3t
\end{cases}$. Thay vào phương trình $2x+y+3z-3=0$ ta được $$2(-2+2t)+(4+t)+3(-1+3t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{14}.$$
Khi đó $\begin{cases}
x=-\dfrac{8}{7}\\ y=\dfrac{31}{7}\\ z=\dfrac{2}{7}
\end{cases}\Rightarrow I\left(-\dfrac{8}{7};\dfrac{31}{7};\dfrac{2}{7}\right)$ là tâm của đường tròn giao tuyến.