Ngân hàng bài tập
SS
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right)\colon\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=16\) và các điểm \(A\left(1;0;2\right)\), \(B\left(-1;2;2\right)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,\,B\) sao cho thiết diện của mặt phẳng \((P)\) với mặt cầu \((S)\) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình \((P)\) dưới dạng \(ax+by+cx+3=0\). Tính tổng \(T=a+b+c\).
 | \(-2\) |
 | \(-3\) |
 | \(0\) |
 | \(3\) |
1 lời giải
Chọn phương án B.
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;3)\), bán kính \(R=4\).
- \(\overrightarrow{AI}=(0;2;1)\Rightarrow AI=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\sqrt{5}\)
- \(\overrightarrow{BI}=(2;0;1)\Rightarrow BI=\sqrt{2^2+0^2+1^2}=\sqrt{5}\)
Vì \(AI< R\) và \(BI< R\) nên suy ra \(A,\,B\) nằm trong hình cầu. Do đó \((P)\) cắt \((S)\) theo thiết diện là hình tròn bán kính \(r\).
Vì \(r^2=R^2-\mathrm{d}^2\left(I,(P)\right)\) nên để hình tròn này có diện tích nhỏ nhất thì \(\mathrm{d}\left(I,(P)\right)\) đạt giá trị lớn nhất, tức là \(\mathrm{d}\left(I,(P)\right)=\mathrm{d}\left(I,AB\right)\).
Vì \(AI=BI\) nên \(\triangle AIB\) cân tại \(I\).
Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\Rightarrow M(0;1;2)\).
Khi đó \(IM\bot(P)\). Suy ra \(\overrightarrow{MI}=(1;1;1)\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\). Vậy $$\begin{eqnarray*}
(P)\colon&(x-1)+(y-0)+(z-2)&=0\\
\Leftrightarrow&x+y+z-3=0\\
\Leftrightarrow&-x-y-z+3=0.
\end{eqnarray*}$$
(P)\colon&(x-1)+(y-0)+(z-2)&=0\\
\Leftrightarrow&x+y+z-3=0\\
\Leftrightarrow&-x-y-z+3=0.
\end{eqnarray*}$$
Theo đó \(a=b=c=-1\).
Vậy \(a+b+c=-3\).