Chọn phương án C.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;4;2)\Rightarrow AB=\sqrt{4^2+4^2+2^2}=6$.

Vậy mặt cầu đường kính $AB$ có bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=3$.

Gọi $H(x;y;z)$ là tâm đường tròn đáy của hình nón $(H)$. Khi đó $(H)$ có chiều cao $h=AH$ ($0<h<6$) và bán kính đáy $r=\sqrt{R^2-(h-R)^2}=\sqrt{6h-h^2}$.

Vậy $(N)$ có thể tích $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{\pi}{3}\left(6h^2-h^3\right)$.

Xét hàm số $f(h)=6h^2-h^3$ ta có $f'(h)=12h-3h^2$.
Cho $f'(h)=0\Leftrightarrow h=4$.

Vậy $f(h)$ đạt giá trị lớn nhất khi $h=4$. Tức là, $(N)$ đạt thể tích lớn nhất khi $h=4$, hay $AH=4$.

Vậy $\overrightarrow{AH}=\dfrac{4}{6}\overrightarrow{AB}=\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3}\right)$. Suy ra $\begin{cases}x-2=\dfrac{8}{3}\\ y-1=\dfrac{8}{3}\\ z-3=\dfrac{4}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{14}{3}\\ y=\dfrac{11}{3}\\ z=\dfrac{13}{3}.\end{cases}$

Vậy mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ đi qua điểm $H\left(\dfrac{14}{3};\dfrac{11}{3};\dfrac{13}{3}\right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(2;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Vậy ta có phương trình: \begin{eqnarray*}&2\left(x-\dfrac{14}{3}\right)+2\left(y-\dfrac{11}{3}\right)+\left(z-\dfrac{13}{3}\right)&=0\\ \Leftrightarrow&2x+2y+z-21&=0.\end{eqnarray*}
Vậy $\begin{cases}b=2\\ c=1\\ d=-21\end{cases}$. Suy ra $b+c+d=-18$.