Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;4;3)$, $B(5;0;3)$. Một hình trụ $(T)$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $AB$ đồng thời nhận $AB$ làm trục của hình trụ. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là tâm các đường tròn đáy của $(T)$ ($M$ nằm giữa $A$, $N$). Khi thiết diện qua trục của $(T)$ có diện tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm $M$ của $(T)$ có dạng $ax+by+cz+d=0$. Giá trị của $b-d$ bằng
 | $2\sqrt{2}$ |
 | $2+2\sqrt{2}$ |
 | $-2\sqrt{2}$ |
 | $4+\sqrt{2}$ |
Chọn phương án A.
Ta có $\overrightarrow{AB}(4;-4;0)$.
Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(3;2;3)$ và bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=2\sqrt{2}$.
Gọi $x$ là bán kính của hình trụ $\big(0<x<2\sqrt{2}\big)$. Diện tích thiết diện là $$\begin{aligned}
S&=GH\cdot GE=2x\cdot2\sqrt{8-x^2}\\
&\leq2\cdot\big(x^2+8-x^2\big).
\end{aligned}$$
Do đó $S\leq16$. Vậy $S_{\max}=16$ khi $x^2=8-x^2$ hay $x=2$.
Khi đó $IM=\sqrt{IH^2-MH^2}=\sqrt{\big(2\sqrt{2}\big)^2-2^2}=2$, $IA=2\sqrt{2}$.
Nên $\overrightarrow{IA}=\sqrt{2}\overrightarrow{IM}\Leftrightarrow M\big(3-\sqrt{2};2+\sqrt{2};3\big)$.
Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm $M$ của $(T)$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}=(1;-1;0)$. Ta có phương trình $$\big(x-3+\sqrt{2}\big)-\big(y-2-\sqrt{2}\big)=0\Leftrightarrow x-y+2\sqrt{2}-1=0.$$
Ta có $b=-1$, $d=2\sqrt{2}-1$. Do đó $b-d=2\sqrt{2}$.