Ngân hàng bài tập
SSS
Có bao nhiêu số nguyên $y\in(-2022;2022]$ để bất phương trình $2+\log_{\sqrt{3}}(y-1)\leq\log_{\sqrt{3}}\big[x^2-2(3+y)x+2y^2+24\big]$ nghiệm đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$?
 | $2011$ |
 | $2021$ |
 | $2019$ |
 | $4041$ |
1 lời giải
Chọn phương án C.
Điều kiện xác định: $y-1>0\Leftrightarrow y>1$.
Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{llll}
&\log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}^2+\log_{\sqrt{3}}(y-1)&\leq&\log_{\sqrt{3}}\big[x^2-2(3+y)x+2y^2+24\big]\\
\Leftrightarrow&\log_{\sqrt{3}}\big[3(y-1)\big]&\leq&\log_{\sqrt{3}}\big[x^2-2(3+y)x+2y^2+24\big]\\
\Leftrightarrow&3(y-1)&\leq&x^2-2(3+y)x+2y^2+24\\
\Leftrightarrow&x^2-2(3+y)x+\big(2y^2-3y+27\big)&\geq&0\,(1)
\end{array}$$
Tam thức $f(x)=x^2-2(3+y)x+\big(2y^2-3y+27\big)$ có $$\begin{aligned}
\Delta'&=(3+y)^2-\big(2y^2-3y+27\big)\\
&=-y^2+9y-18.
\end{aligned}$$
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $$\begin{aligned}
\Delta'\leq0&\Leftrightarrow-y^2+9y-18\leq0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y\leq3\\ y\geq6\end{array}\right.
\end{aligned}$$
\Delta'&=(3+y)^2-\big(2y^2-3y+27\big)\\
&=-y^2+9y-18.
\end{aligned}$$
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $$\begin{aligned}
\Delta'\leq0&\Leftrightarrow-y^2+9y-18\leq0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y\leq3\\ y\geq6\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Lại vì $\begin{cases}
y\in(-2022;2022]\\ y>1
\end{cases}$ nên $\left[\begin{array}{l}1<y\leq3\\ 6\leq y\leq2022.\end{array}\right.$
Vậy tập giá trị nguyên $y$ thỏa đề là $\big\{2;3;6;7;\ldots;2022\big\}$, tức là có $2019$ số.