Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;8;12)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $(S)$ trong mặt phẳng $(Oyz)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $O$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60^\circ$?
 | $6$ |
 | $2$ |
 | $10$ |
 | $5$ |
Chọn phương án D.
Giả sử 2 tiếp tuyến $OA,OB$, theo giả thiết suy ra $\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\geq60^\circ$.
Suy ra $30^\circ\leq\widehat{AOH}\leq60^\circ$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt phẳng $(Oyz)$, ta có $H(0;8;12)$, suy ra $OH=4\sqrt{13}$.
Xét tam giác $OAH$ ta có: $HA=OH\sin\widehat{AOH}\geq4\sqrt{13}\sin30^\circ=2\sqrt{13}$.
Ta có $\begin{aligned}[t]
&2\sqrt{13}\le HA<2\sqrt{39}\\
\Rightarrow&52\le AH^2\le 156\\
\Rightarrow&52+16\le AH^2+IH^2\le 156+16\\
\Rightarrow&68\le IA^2\le172\\
\Rightarrow&68\le R^2\le172.
\end{aligned}$
hay $8,24\le R\le 13,11$. Suy ra $R\in\left\{9;\,10;\,...;\,13\right\}$.
Vậy có tất cả $5$ giá trị của $R$.