Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-4)^2+(y+3)^2+(z+6)^2=50$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $(S)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$?
 | $29$ |
 | $33$ |
 | $55$ |
 | $28$ |
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P)\colon x+y-z-1=0\) và điểm \(A(1;0;0)\in(P)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A\) nằm trong \((P)\) và tạo với trục \(Oz\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với mặt phẳng \((Q)\colon2x+y-2z+1=0\). Tổng \(S=x_0+y_0+z_0\) bằng
| \(-2\) |
| \(13\) |
| \(-5\) |
| \(12\) |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;-2)$, nhận $\overrightarrow{u}=(1;a;1-a)$ (với $a\in\mathbb{R}$) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $(S)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi $a^2$ thuộc khoảng nào dưới đây?
| $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$ |
| $\left(\dfrac{3}{2};2\right)$ |
| $\left(7;\dfrac{15}{2}\right)$ |
| $\left(0;\dfrac{1}{4}\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(5;2;1)$ và $B(1;0;1)$. Phương trình của mặt cầu đường kính $AB$ là
| $(x+3)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=5$ |
| $(x-3)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=20$ |
| $(x-3)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5$ |
| $(x+3)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=20$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và bán kính $R=2$. Phương trình của $(S)$ là
| $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=4$ |
| $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=2$ |
| $(x+1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=2$ |
| $(x+1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=4$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;4;3)$, $B(5;0;3)$. Một hình trụ $(T)$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $AB$ đồng thời nhận $AB$ làm trục của hình trụ. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là tâm các đường tròn đáy của $(T)$ ($M$ nằm giữa $A$, $N$). Khi thiết diện qua trục của $(T)$ có diện tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm $M$ của $(T)$ có dạng $ax+by+cz+d=0$. Giá trị của $b-d$ bằng
| $2\sqrt{2}$ |
| $2+2\sqrt{2}$ |
| $-2\sqrt{2}$ |
| $4+\sqrt{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$, mặt phẳng $(P)\colon3x+y-z-1=0$ và mặt phẳng $(Q)\colon x+3y+z-3=0$. Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng đi qua $A$, cắt và vuông góc với giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Sin của góc tạo bởi đường thẳng $(\Delta)$ và mặt phẳng $(P)$ bằng
| $\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$ |
| $\dfrac{\sqrt{55}}{55}$ |
| $0$ |
| $\dfrac{-3\sqrt{55}}{11}$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)\colon x-\sqrt{3}y+2z+1=0$ và mặt phẳng $(Oxy)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
| $\alpha=45^{\circ}$ |
| $\alpha=30^{\circ}$ |
| $\alpha=60^{\circ}$ |
| $\alpha=90^{\circ}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x+1)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=25$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là
| $I(-1;3;2),\,R=25$ |
| $I(1;-3;-2),\,R=5$ |
| $I(-1;3;2),\,R=5$ |
| $I(1;-3;-2),\,R=25$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x+3)^2+y^2+(z-1)^2=10$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $3$?
| $\big(P_2\big)\colon x+2y-2z-8=0$ |
| $\big(P_4\big)\colon x+2y-2z-4=0$ |
| $\big(P_3\big)\colon x+2y-2z-2=0$ |
| $\big(P_1\big)\colon x+2y-2z+8=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+9=0$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu là
| $I(-1;2;-3)$ và $R=5$ |
| $I(-1;2;-3)$ và $R=\sqrt{5}$ |
| $I(1;-2;3)$ và $R=5$ |
| $I(1;-2;3)$ và $R=\sqrt{5}$ |
Cho mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(O,R)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $d< R$ |
| $d>R$ |
| $d=R$ |
| $d=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng
| $30^{\circ}$ |
| $45^{\circ}$ |
| $60^{\circ}$ |
| $90^{\circ}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+1=0$. Tâm của $(S)$ có tọa độ là
| $(-1;-2;-3)$ |
| $(2;4;6)$ |
| $(-2;-4;-6)$ |
| $(1;2;3)$ |
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I(1;-1;2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+3y-z+2=0$.
- Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I$, tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.
- Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$.
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;3;9)$ bán kính bằng $3$. Gọi $M,\,N$ là hai điểm lần lượt thuộc hai trục $Ox$, $Oz$ sao cho đường thẳng $MN$ tiếp xúc với $(S)$, đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ có bán kính bằng $\dfrac{13}{2}$. Gọi $A$ là tiếp điểm của $MN$ và $(S)$, giá trị $AM\cdot AN$ bằng
| $39$ |
| $12\sqrt{3}$ |
| $18$ |
| $28\sqrt{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+(y-2)^2+(z+1)^2=6$. Đường kính của $(S)$ bằng
| $\sqrt{6}$ |
| $12$ |
| $2\sqrt{6}$ |
| $3$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+(z-3)^2=8$ và hai điểm $A(4;4;3)$, $B(1;1;1)$. Gọi $\big(\mathscr{C}_1\big)$ là tập hợp các điểm $M\in(S)$ sao cho $|MA-2MB|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng $\big(\mathscr{C}_1\big)$ là một đường tròn có bán kính $R_1$. Tính $R_1$.
| $\sqrt{7}$ |
| $\sqrt{6}$ |
| $2\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-5}{2}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+z-3=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$, cắt đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc $30^\circ$ có phương trình là
| $\dfrac{x+2}{22}=\dfrac{y-1}{-13}=\dfrac{z+3}{8}$ |
| $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$ |
| $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-2}{-11}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-3}{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, tâm $I$ của mặt cầu $(S)\colon(x+2)^2+(y-1)^2+z^2=4$ có tọa độ là
| $I(-2;1;0)$ |
| $I(2;-1;0)$ |
| $I(-2;1;1)$ |
| $I(-2;-1;0)$ |