Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;-2)$, nhận $\overrightarrow{u}=(1;a;1-a)$ (với $a\in\mathbb{R}$) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $(S)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi $a^2$ thuộc khoảng nào dưới đây?
 | $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$ |
 | $\left(\dfrac{3}{2};2\right)$ |
 | $\left(7;\dfrac{15}{2}\right)$ |
 | $\left(0;\dfrac{1}{4}\right)$ |
Chọn phương án B.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;-1)$, bán kính $R=2$.
Gọi $B,\,C$ là giao điểm giữa $d$ và $(S)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.
Vì $IA=IB$ và $\widehat{IAJ}=\widehat{IBJ}=90^\circ$ nên tứ giác $IAJB$ là hình vuông. Suy ra $BC=2\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Vì $\triangle IAB$ vuông cân tại $I$ nên $IH\perp BC$ và $IH=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{2}$.
Từ đó suy ra $\mathrm{d}(I,d)=IH=\sqrt{2}$.
Ta có $\overrightarrow{AI}=(0;-2;1)$, $\overrightarrow{u}=(1;a;1-a)$. Suy ra $\left[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u}\right]=(a-2;1;2)$.
Khi đó $\begin{aligned}[t]
\mathrm{d}(I,d)=\sqrt{2}&\Leftrightarrow\dfrac{\bigg|\left[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u}\right]\bigg|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\sqrt{2}\\
&\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{(a-2)^2+1^2+2^2}}{\sqrt{1+a^2+(1-a)^2}}=\sqrt{2}\\
&\Leftrightarrow\dfrac{a^2-4a+9}{2a^2-2a+2}=2\\
&\Leftrightarrow a^2=\dfrac{5}{3}\in\left(\dfrac{3}{2};2\right).
\end{aligned}$