Chọn phương án C.

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=(1;-2;2)\).
Gọi \(I(a;b;c)\) và \(R\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. Khi đó:

• \(I\in(Q)\Leftrightarrow a+b+c=0\) (1)
• \(\overrightarrow{HI}=(a+1;b-1;c-1)\).
• \(HI\bot(P)\Leftrightarrow\overrightarrow{HI}=t\cdot\vec{n}\)
  \(\Leftrightarrow\begin{cases}a+1=t\\ b-1=-2t\\ c-1=2t\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=t-1\\ b=1-2t\\ c=1+2t\end{cases}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $$(t-1)+(1-2t)+(1+2t)=0\Leftrightarrow t=-1$$
Suy ra \(I(-2;3;-1)\). Khi đó: $$\begin{aligned}IH&=d\left(I,(P)\right)\\ &=\dfrac{\left|-2-2\cdot3+2\cdot(-1)\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=3.\end{aligned}$$
\(\Rightarrow R^2=IH^2+r^2=9+4=13\).

Vậy diện tích của mặt cầu bằng $$S=4\pi R^2=4\pi\cdot13=52\pi.$$