Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$, mặt phẳng $(P)\colon3x+y-z-1=0$ và mặt phẳng $(Q)\colon x+3y+z-3=0$. Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng đi qua $A$, cắt và vuông góc với giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Sin của góc tạo bởi đường thẳng $(\Delta)$ và mặt phẳng $(P)$ bằng
 | $\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$ |
 | $\dfrac{\sqrt{55}}{55}$ |
 | $0$ |
 | $\dfrac{-3\sqrt{55}}{11}$ |
Chọn phương án A.
Ta có $\overrightarrow{n_P}=(3;1;-1)$, $\overrightarrow{n_Q}=(1;3;1)$ và $M(0;1;0)\in(P)\cap(Q)$.
Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Khi đó $d$ đi qua $M(0;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\big[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\big]=(1;-1;2)$.
Ta có phương trình $d\colon\begin{cases}x=&t\\ y=1-&t\\ z=&2t\end{cases}$.
Gọi $B=\Delta\cap d\Rightarrow B(t;1-t;2t)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(t-1;-t-1;2t+3)$.
Vì $\Delta\perp d$ nên $$\begin{aligned}
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{u}=0&\Leftrightarrow 1(t-1)-(-t-1)+2(2t+3)=0\\
&\Leftrightarrow t=-1.
\end{aligned}$$
Suy ra $\overrightarrow{AB}=(-2;0;1)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
Khi đó $\sin\big(\Delta,(P)\big)=\dfrac{\big|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n_P}\big|}{\big|\overrightarrow{AB}\big|\cdot\big|\overrightarrow{n_P}\big|}=\dfrac{|-2\cdot3-1\cdot1|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{11}}=\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$.