Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
 | $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
 | $\dfrac{5}{2}$ |
 | $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
 | $\dfrac{5}{3}$ |
Chọn phương án A.
Gọi $I=AC\cap BD$. Qua $I$, dựng đường thẳng $d\perp(ABCD)$.
Khi đó $d\subset(SAC)$ và $d\parallel SA$.
Xét $\triangle SAC$ ta có $d$ đi qua trung điểm $I$ của cạnh $AC$ và song song với cạnh $SA$ nên $d$ là đường trung bình.
Gọi $O=d\cap SC$, ta có $O$ là trung điểm của cạnh $SC$ (1).
Lại vì $O\in d$ nên $OA=OB=OC=OD$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Ta có $\big(SC,(ABCD)\big)=\big(SC,AC\big)=\widehat{SCA}=45^\circ$.
Suy ra $\triangle SAC$ vuông cân tại $A$.
Vậy $SC=AC\cdot\sqrt{2}=\sqrt{AB^2+BC^2}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
Khi đó bán kính $R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.